Use o Teorema de Stokes para calcular , onde e é a curva interseção do cilindro com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O que a gente precisa fazer é calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a interseção do cilindro com o plano . Para isso, precisamos entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a superfície limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional, ou curl, de é dado por:
Calculando cada componente:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície limitada pela curva . A curva é a interseção do cilindro com o plano . Podemos resolver a equação do plano para :
Substituindo isso na equação do cilindro:
Isso nos dá uma circunferência em que varia de a e de acordo com a equação do cilindro. Portanto, podemos parametrizar a superfície usando coordenadas polares no plano :
onde .

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos do vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano , o vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
Mas precisamos normalizar esse vetor para obter uma unidade de normal:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Precisamos agora calcular a área da superfície . Como é a interseção do cilindro com o plano , a projeção de no plano é um círculo de raio 1. A área desse círculo é:
Á
Mas, como a superfície está inclinada em relação ao plano , a área real está relacionada à área projetada por:
onde é o ângulo entre o vetor normal e o eixo . Nesse caso,
Portanto, a área total é:
Á

Passo 7

Finalmente, substituímos tudo na integral de superfície:

Resposta

A integral vale .

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