Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y) e C é a curva interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O que a gente precisa fazer é calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) = (y - z, z - x, x - y) ao longo da curva C, que é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x + z = 1. Para isso, precisamos entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. O rotacional, ou curl, de F é dado por:
nabla times F = ( partial (x - y)partial y - partial (z - x)partial z, partial (y - z)partial z - partial (x - y)partial x, partial (z - x)partial x - partial (y - z)partial y )
Calculando cada componente:
  • Primeira componente:
    partial (x - y)partial y = -1, partial (z - x)partial z = 1 Rightarrow -1 - 1 = -2
  • Segunda componente:
    partial (y - z)partial z = -1, partial (x - y)partial x = 1 Rightarrow -1 - 1 = -2
  • Terceira componente:
    partial (z - x)partial x = -1, partial (y - z)partial y = 1 Rightarrow -1 - 1 = -2
Portanto,
nabla times F = (-2, -2, -2)

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S limitada pela curva C. A curva C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x + z = 1. Podemos resolver a equação do plano para z:
z = 1 - x
Substituindo isso na equação do cilindro:
x^2 + y^2 = 1
Isso nos dá uma circunferência em que x varia de -1 a 1 e y de acordo com a equação do cilindro. Portanto, podemos parametrizar a superfície S usando coordenadas polares no plano xy:
x = costheta, y = sintheta, z = 1 - costheta
onde 0 <= theta < 2pi.

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos do vetor normal à superfície S. Como a superfície está no plano x + z = 1, o vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
n = (1, 0, 1)
Mas precisamos normalizar esse vetor para obter uma unidade de normal:
|n| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2 Rightarrow n = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Substituindo os valores que já calculamos:
nabla times F = (-2, -2, -2) n = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )
Calculando o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = (-2) cdot 1raiz2 + (-2) cdot 0 + (-2) cdot 1raiz2 = -2raiz2 + -2raiz2 = -4raiz2 = -2raiz2

Passo 6

Precisamos agora calcular a área da superfície S. Como S é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x + z = 1, a projeção de S no plano xy é um círculo de raio 1. A área desse círculo é:
Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi Á
Mas, como a superfície está inclinada em relação ao plano xy, a área real dS está relacionada à área projetada dA por:
dS = dAcosphi
onde phi é o ângulo entre o vetor normal n e o eixo z. Nesse caso,
cosphi = 1raiz2 Rightarrow dS = dA1/raiz2 = raiz2, dA
Portanto, a área total é:
Área total = raiz2 cdot pi = piraiz2 Á

Passo 7

Finalmente, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = (-2raiz2) cdot piraiz2 = -2raiz2 cdot raiz2 cdot pi = -4pi

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale -4pi.

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