Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é a curva interseção do cilindro
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O que a gente precisa fazer é calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva
, que é a interseção do cilindro
com o plano
. Para isso, precisamos entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional, ou curl, de
é dado por:
Calculando cada componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
limitada pela curva
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Podemos resolver a equação do plano para
:
Substituindo isso na equação do cilindro:
Isso nos dá uma circunferência em que
varia de
a
e
de acordo com a equação do cilindro. Portanto, podemos parametrizar a superfície
usando coordenadas polares no plano
:
onde
.
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos do vetor normal à superfície
. Como a superfície está no plano
, o vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
Mas precisamos normalizar esse vetor para obter uma unidade de normal:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Precisamos agora calcular a área da superfície
. Como
é a interseção do cilindro
com o plano
, a projeção de
no plano
é um círculo de raio 1. A área desse círculo é:
Mas, como a superfície está inclinada em relação ao plano
, a área real
está relacionada à área projetada
por:
onde
é o ângulo entre o vetor normal
e o eixo
. Nesse caso,
Portanto, a área total é:
Passo 7
Finalmente, substituímos tudo na integral de superfície:
Resposta
A integral
vale
.
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através da superfície
(orientada positivamente) onde
e
é a fronteira do sólido
limitado pelo parabolóide
e pelo plano
.
Calcule a derivada das seguintes funçöes: