Represente as funções como séries de Maclaurin e determine o seu raio de convergência f(x) = x^2 * e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função como uma série de Maclaurin e descobrir o raio de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e, mais especificamente, da série de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
No nosso caso, temos . Para facilitar, vamos primeiro lembrar a série de Maclaurin para :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de Maclaurin para :
Podemos reescrever isso ajustando o índice para deixar a série mais clara. Vamos substituir por , onde . Assim, quando , , e a série fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. O raio de convergência indica para quais valores de a série converge, ou seja, aproxima a função .
Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todo , o que significa que o raio de convergência é infinito ( ). Multiplicar por não altera o raio de convergência da série, pois é uma função polinomial com raio infinito de convergência.

Passo 5

Portanto, concluímos que a série de Maclaurin para é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o raio de convergência é infinito ( ).

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