Represente as funções como séries de Maclaurin e determine o seu raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função
como uma série de Maclaurin e descobrir o raio de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e, mais especificamente, da série de Maclaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função
em torno de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
No nosso caso, temos
. Para facilitar, vamos primeiro lembrar a série de Maclaurin para
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de Maclaurin para
:
Podemos reescrever isso ajustando o índice para deixar a série mais clara. Vamos substituir
por
, onde
. Assim, quando
,
, e a série fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. O raio de convergência indica para quais valores de
a série converge, ou seja, aproxima a função
.
Sabemos que a série de Maclaurin para
converge para todo
, o que significa que o raio de convergência é infinito (
). Multiplicar por
não altera o raio de convergência da série, pois
é uma função polinomial com raio infinito de convergência.
Passo 5
Portanto, concluímos que a série de Maclaurin para
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o raio de convergência é infinito (
).