Estude a convergência de cada integral imprópria.
integral0^9 d xraizx.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra estudar a convergência de uma integral imprópria. A integral é . Vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como verificar se elas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , vemos que ela não está definida quando , porque dividir por zero dá problema. Então, temos uma descontinuidade no limite inferior da integral, o que a torna imprópria.

Passo 3

Agora, pra estudar a convergência, a gente vai reescrever a integral como um limite. Isso significa que vamos tirar o ponto problemático de integral0^9 dxraizx = lima to 0^+ integrala^9 dxraizx substituindo por um valor próximo, , que vai se aproximando de 0. Então, fica assim:

Passo 4

Vamos calcular a integral indefinida de integrala^9 dxraizx = 2raiz9 - 2raiza = 6 - 2raiza . A antiderivada de é . Então, substituindo os limites de integração, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando lima to 0^+ (6 - 2raiza) = 6 - 0 = 6 se aproxima de 0:

Resposta

A integral converge e o seu valor é 6.

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