Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra estudar a convergência de uma integral imprópria. A integral é
. Vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como verificar se elas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, vemos que ela não está definida quando
, porque dividir por zero dá problema. Então, temos uma descontinuidade no limite inferior da integral, o que a torna imprópria.
Passo 3
Agora, pra estudar a convergência, a gente vai reescrever a integral como um limite. Isso significa que vamos tirar o ponto problemático de
substituindo por um valor próximo,
, que vai se aproximando de 0. Então, fica assim:
Passo 4
Vamos calcular a integral indefinida de
. A antiderivada de
é
. Então, substituindo os limites de integração, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 6.
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