Estude a convergência de cada integral imprópria.
integral0^1 / 2 d xx.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos solicita que estudemos a convergência de uma integral imprópria, especificamente a integral de de 0 até .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada apresenta descontinuidade em algum ponto dentro do intervalo de integração.
No nosso caso, a função tem uma descontinuidade em , pois não está definido. Portanto, a integral é imprópria devido a essa descontinuidade no limite inferior.

Passo 3

Para determinar se a integral converge ou diverge, vamos calcular o limite da integral conforme o ponto de descontinuidade se aproxima. Especificamente, substituímos o ponto de descontinuidade por uma variável lima to 0^+ integrala^1/2 1x , dx que tende a 0:

Passo 4

Vamos calcular a integral definida:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Onde lima to 0^+ [ ln(12) - ln(a) ] é a constante de integração.
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Simplificando a expressão:
ln(12) = -ln(2)
Portanto,
lima to 0^+ ( -ln(2) - ln(a) ) = -ln(2) - lima to 0^+ ln(a)

Passo 6

Sabemos que -ln(2) - (-infty) = -ln(2) + infty = infty . Portanto,

Resposta

A integral imprópria diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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