Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos solicita que estudemos a convergência de uma integral imprópria, especificamente a integral de
de 0 até
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como determinar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada apresenta descontinuidade em algum ponto dentro do intervalo de integração.
No nosso caso, a função
tem uma descontinuidade em
, pois
não está definido. Portanto, a integral é imprópria devido a essa descontinuidade no limite inferior.
Passo 3
Para determinar se a integral converge ou diverge, vamos calcular o limite da integral conforme o ponto de descontinuidade se aproxima. Especificamente, substituímos o ponto de descontinuidade por uma variável
que tende a 0:
Passo 4
Vamos calcular a integral definida:
Onde
é a constante de integração.
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Portanto,
Passo 6
Sabemos que
. Portanto,
Resposta
A integral imprópria
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.