Estude a convergência de cada integral imprópria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para estudar a convergência de uma integral imprópria. A integral é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, e vamos precisar entender sobre integrais impróprias e testes de convergência para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é infinito, então é uma integral imprópria do tipo .

Passo 3

Para estudar a convergência dessa integral, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar nossa função com outra função cuja convergência já conhecemos. A ideia é encontrar uma função tal que:
e sabermos se converge ou diverge.

Passo 4

Observando a função , para grande, o se torna insignificante comparado com . Então, podemos aproximar:
Então, escolhemos para comparar.

Passo 5

Agora, vamos verificar a integral de comparação:
Sabemos que converge se . No nosso caso, , então essa integral converge.

Passo 6

Como para todo e a integral de comparação converge, pelo Teste da Comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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