Estude a convergência de cada integral imprópria.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para estudar a convergência de uma integral imprópria. A integral é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, e vamos precisar entender sobre integrais impróprias e testes de convergência para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é infinito, então é uma integral imprópria do tipo
.
Passo 3
Para estudar a convergência dessa integral, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar nossa função com outra função cuja convergência já conhecemos. A ideia é encontrar uma função
tal que:
e sabermos se
converge ou diverge.
Passo 4
Observando a função
, para
grande, o
se torna insignificante comparado com
. Então, podemos aproximar:
Então, escolhemos
para comparar.
Passo 5
Agora, vamos verificar a integral de comparação:
Sabemos que
converge se
. No nosso caso,
, então essa integral converge.
Passo 6
Como
para todo
e a integral de comparação converge, pelo Teste da Comparação, a integral original também converge.
Resposta
A integral
é convergente.
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Determine o valor de
para que
em que
a) Prove que
converge usando comparação com