Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
f) integral1^infty (ln x)^nx^2 d x, n in N

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral definida de 1 até o infinito da função , onde é um número natural ( ). Vamos usar a Função Gamma para resolver essa integral.

Passo 2

Para resolver a integral t = ln x , vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt tal que:
dx = e^t dt
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Como , substituindo na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos alterar os limites de integração de acordo com a substituição integral0^infty t^ne^2t e^t dt :
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral passa a ser:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
1e^2t cdot e^t = e^-t
Assim, a integral fica:
integral0^infty t^n e^-t dt

Passo 5

Essa é a definição da Função Gamma para valores positivos. A Função Gamma é definida por:
Gamma(k) = integral0^infty t^k-1 e^-t dt
Comparando com nossa integral, temos integral0^infty t^n e^-t dt = Gamma(n + 1) , ou seja, . Portanto:

Passo 6

Sabemos que, para números naturais, a Função Gamma satisfaz:
Gamma(n + 1) = n!
Onde é o fatorial de .

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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