Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
f)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral definida de 1 até o infinito da função , onde é um número natural ( ). Vamos usar a Função Gamma para resolver essa integral.

Passo 2

Para resolver a integral , vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável tal que:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Como , substituindo na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos alterar os limites de integração de acordo com a substituição :
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral passa a ser:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:

Passo 5

Essa é a definição da Função Gamma para valores positivos. A Função Gamma é definida por:
Comparando com nossa integral, temos , ou seja, . Portanto:

Passo 6

Sabemos que, para números naturais, a Função Gamma satisfaz:
Onde é o fatorial de .

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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c)
c) Sabendo que , calcule e .
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
j)
Estude a convergência de cada integral imprópria.