Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
f)
f)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral definida de 1 até o infinito da função
, onde
é um número natural (
). Vamos usar a Função Gamma para resolver essa integral.
Passo 2
Para resolver a integral
, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Como
, substituindo na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos alterar os limites de integração de acordo com a substituição
:
- Quando
, - Quando
,
Portanto, a integral passa a ser:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Essa é a definição da Função Gamma para valores positivos. A Função Gamma é definida por:
Comparando com nossa integral, temos
, ou seja,
. Portanto:
Passo 6
Sabemos que, para números naturais, a Função Gamma satisfaz:
Onde
é o fatorial de
.
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
.
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c)
c)
c) Sabendo que
, calcule
e
.
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
j)
j)
Estude a convergência de cada integral imprópria.