Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a Função Gamma. Esse exercício está na área de Cálculo Integral e envolve entender como transformar integrais que parecem complicadas em algo que a Função Gamma consiga resolver. Para isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifica a integral e aplicar a definição da Função Gamma.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
e, consequentemente,
.
Passo 3
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando
,
e quando
,
. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Os sinais negativos se cancelam, e trocamos os limites de integração para ficarem na ordem certa:
Passo 5
Agora, reconhecemos que
é a definição da Função Gamma para
:
Passo 6
Sabemos que
para números naturais
. Então, substituindo na nossa integral:
Resposta
A integral vale
.
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f)
f)
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c)
c)
Estude a convergência de cada integral imprópria.
Determine o valor de
para que
em que