Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Função Gamma. Esse exercício está na área de Cálculo Integral e envolve entender como transformar integrais que parecem complicadas em algo que a Função Gamma consiga resolver. Para isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifica a integral e aplicar a definição da Função Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que e, consequentemente, .

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando , e quando , . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Os sinais negativos se cancelam, e trocamos os limites de integração para ficarem na ordem certa:

Passo 5

Agora, reconhecemos que é a definição da Função Gamma para :

Passo 6

Sabemos que para números naturais . Então, substituindo na nossa integral:

Resposta

A integral vale .

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f)
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
c)
Estude a convergência de cada integral imprópria.
Determine o valor de para que
em que