Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(h)
para todo inteiro
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que para todo número inteiro
que seja maior ou igual a 0, a desigualdade
é verdadeira. Vamos usar o Princípio de Indução Finita, que é uma técnica matemática para provar afirmações que dependem de um número inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o menor valor de
, que é 0. Quando
:
Então,
é verdadeira. Isso é o nosso caso base.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro
. Ou seja, suponhamos que:
Essa é a nossa hipótese de indução. A ideia é que, se isso é verdade para
, então também deve ser verdade para
.
Passo 4
Vamos provar que a desigualdade vale para
. Começamos com:
Queremos mostrar que isso é menor ou igual a
.
Sabemos que
. Então, temos:
Como pela hipótese de indução sabemos que
, multiplicando ambos os lados por 2:
E como
,
, então:
Assim, a desigualdade também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução finita, mostramos que
para todo inteiro
.
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