Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(h) para todo inteiro

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que para todo número inteiro que seja maior ou igual a 0, a desigualdade é verdadeira. Vamos usar o Princípio de Indução Finita, que é uma técnica matemática para provar afirmações que dependem de um número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o menor valor de , que é 0. Quando :
Então, é verdadeira. Isso é o nosso caso base.

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro . Ou seja, suponhamos que:
Essa é a nossa hipótese de indução. A ideia é que, se isso é verdade para , então também deve ser verdade para .

Passo 4

Vamos provar que a desigualdade vale para . Começamos com:
Queremos mostrar que isso é menor ou igual a .
Sabemos que . Então, temos:
Como pela hipótese de indução sabemos que , multiplicando ambos os lados por 2:
E como , , então:
Assim, a desigualdade também vale para .

Resposta

Portanto, por indução finita, mostramos que para todo inteiro .

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Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
h)
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
d)
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d)