Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão é sobre estudar a convergência da série . Isso envolve entender se a série converge ou diverge, e se converge, se é de forma absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries infinitas e algumas propriedades das séries que envolvem fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, consideramos o módulo de cada termo da série:
Passo 3
Agora, para testar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando a série envolve fatoriais ou potências. Aplicamos o teste da razão da seguinte forma:
Onde . Então,
Simplificando,
Tomando o limite quando vai para o infinito:
Passo 4
Segundo o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. No nosso caso, , então a série converge absolutamente. Isso implica que a série original também converge absolutamente.
Passo 5
Agora, se quisermos encontrar o valor da soma dessa série, podemos usar uma técnica que envolve derivadas de séries conhecidas. Sabemos que:
Para a nossa série, temos termos e . Usando derivadas sucessivas, podemos expressar em termos de derivadas de . Após calcular as derivadas necessárias e substituir , encontramos que a soma da série é: