Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
h)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão é sobre estudar a convergência da série . Isso envolve entender se a série converge ou diverge, e se converge, se é de forma absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries infinitas e algumas propriedades das séries que envolvem fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, consideramos o módulo de cada termo da série:
Passo 3
Agora, para testar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando a série envolve fatoriais ou potências. Aplicamos o teste da razão da seguinte forma:
L = limm to infty | am+1am |
Onde am+1am = 2^m+1 (m+1)^3(m+1)! times m!2^m m^3 = 2 times (m+1)^3(m+1) m^3 = 2 times (m+1)^2m^3 . Então,
am+1am = 2 times m^2 + 2m + 1m^3 = 2 times ( 1m + 2m^2 + 1m^3 )
Simplificando,
L = limm to infty 2 ( 1m + 2m^2 + 1m^3 ) = 0
Tomando o limite quando vai para o infinito:
Passo 4
Segundo o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. No nosso caso, , então a série converge absolutamente. Isso implica que a série original também converge absolutamente.
Passo 5
Agora, se quisermos encontrar o valor da soma dessa série, podemos usar uma técnica que envolve derivadas de séries conhecidas. Sabemos que:
summ=0^infty x^mm! = e^x
Para a nossa série, temos termos summ=1^infty (-2)^m m^3m! = (-2)(1 + (-2))e^-2 + outros termos que cancelam e Soma = -2e^-2 (1 - 2 + 4) = -2e^-2 times 3 = -6e^-2 . Usando derivadas sucessivas, podemos expressar em termos de derivadas de . Após calcular as derivadas necessárias e substituir , encontramos que a soma da série é: