Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a aproximação linear pra estimar o valor de . A matéria que a gente vai usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a aproximação linear que ajuda a gente a estimar valores de funções próximas a um ponto conhecido. Vamos precisar entender como calcular derivadas e aplicar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a expressão em partes mais simples. Podemos pensar em , onde e são os pontos em que vamos aproximar, já que está próximo de . A ideia é usar a aproximação linear em torno desse ponto conhecido.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto conhecido . Substituindo na função:

Passo 4

Em seguida, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e . Vamos calcular:
Agora, avaliando no ponto :

Passo 5

A fórmula da aproximação linear é:
Aqui, , , , e . Substituindo:

Resposta

Usando a aproximação linear, estimamos que . Calculando na calculadora, o valor exato é aproximadamente 8.48, então a aproximação está bem próxima!

Exercícios relacionados

Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(h) para todo inteiro
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
h)
Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
d)
Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.