Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente tem funções interligadas:
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
nos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que, para encontrar
, por exemplo, precisamos considerar como
muda em relação a
e
, e como
e
mudam em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
,
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial de
:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores de
,
e
nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos
e
nesses valores:
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em
e
:
Passo 6
Substituímos agora todos os valores nas expressões das derivadas parciais de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcule o limite de quocientes indeterminados.
pt.)
Seja
o campo vetorial
.
Utilize o item (b) para calcular onde
é dada por
.
Utilize o item (b) para calcular
Seja a função
dada por
. Encontre:
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
i)
i)