Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
quando e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente tem funções interligadas: depende de e , que por sua vez dependem de , e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e nos pontos , e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que, para encontrar , por exemplo, precisamos considerar como muda em relação a e , e como e mudam em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, calculamos as derivadas parciais de e em relação a , e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial de :

Passo 5

Vamos agora substituir os valores de , e nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos e nesses valores:
Agora, calculamos as derivadas parciais de em e :

Passo 6

Substituímos agora todos os valores nas expressões das derivadas parciais de :
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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i)