Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w, partial zpartial u, partial zpartial v^prime, partial zpartial w^prime quando u=2, v=1 e w=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente tem funções interligadas: depende de e , que por sua vez dependem de , e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e nos pontos , e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
z = x^2 + x y^3
x = u v^2 + w^3
y = u + v e^w
A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que, para encontrar , por exemplo, precisamos considerar como muda em relação a e , e como e mudam em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x + y^3 em relação a partial zpartial y = 3x y^2 e partial xpartial u = v^2 :
partial xpartial v = 2u v
partial xpartial w = 3w^2
Agora, calculamos as derivadas parciais de partial ypartial u = 1 e partial ypartial v = e^w em relação a partial ypartial w = v e^w , e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial de partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u :
partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v
partial zpartial w = partial zpartial x cdot partial xpartial w + partial zpartial y cdot partial ypartial w

Passo 5

Vamos agora substituir os valores de x = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2 , y = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 = 3 e partial zpartial x = 2 cdot 2 + 3^3 = 4 + 27 = 31 nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos partial zpartial y = 3 cdot 2 cdot 3^2 = 6 cdot 9 = 54 e nesses valores:
Agora, calculamos as derivadas parciais de em e :

Passo 6

Substituímos agora todos os valores nas expressões das derivadas parciais de partial zpartial u = 31 cdot v^2 + 54 cdot 1 = 31 cdot 1^2 + 54 = 31 + 54 = 85 :
Para partial zpartial v = 31 cdot 2u v + 54 cdot e^w = 31 cdot 2 cdot 2 cdot 1 + 54 cdot e^0 = 31 cdot 4 + 54 cdot 1 = 124 + 54 = 178 :
partial zpartial w = 31 cdot 3w^2 + 54 cdot v e^w = 31 cdot 3 cdot 0^2 + 54 cdot 1 cdot e^0 = 31 cdot 0 + 54 cdot 1 = 0 + 54 = 54
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 85
partial zpartial v = 178
partial zpartial w = 54

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