Estude a convergência da sequência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da sequência de funções
. Isso está relacionado ao estudo de sequências de funções na análise matemática. Vamos precisar entender conceitos de convergência pontual e convergência uniforme para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência de funções
convergir. Em termos simples, queremos saber para cada
no domínio, a sequência
se aproxima de algum valor quando
aumenta indefinidamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
Passo 4
Para simplificar o limite, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
e
tendem a zero, então o limite fica:
Então, para todo
,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o caso quando
:
Portanto, o limite quando
também é zero nesse caso.
Passo 6
Até aqui, vimos que para todo
,
. Isso significa que a sequência de funções converge pontualmente para a função zero.
Passo 7
Agora, vamos investigar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme ocorre se o limite da sequência é alcançado de forma uniforme para todos os
no domínio, sem depender de
.
Precisamos encontrar:
Passo 8
Para encontrar o supremo, derivamos
em relação a
e encontramos seu ponto máximo:
Igualando a zero, vemos que
quando
. Avaliando limites para
e
, percebemos que o máximo ocorre em algum ponto específico.
Na verdade, para
, temos:
Passo 9
Portanto, o supremo de
é
, e:
Como o supremo também tende a zero, concluímos que a convergência é uniforme.
Resposta
A sequência de funções
converge pontualmente para a função zero em todo o domínio e essa convergência é uniforme.
Exercícios relacionados
Verifique que a sequência
não tende a zero.
Sejam
, e
, números reais dados. Suponhamos que a série
convirja uniformemente em
, a função f. Verifique que
Verifique se a série de funções
converge uniformemente para todo
.
Estude a função definida por
quando a continuidade, derivabilidade termo a termo.