Estude a convergência da sequência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da sequência de funções . Isso está relacionado ao estudo de sequências de funções na análise matemática. Vamos precisar entender conceitos de convergência pontual e convergência uniforme para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência de funções convergir. Em termos simples, queremos saber para cada no domínio, a sequência se aproxima de algum valor quando aumenta indefinidamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:

Passo 4

Para simplificar o limite, vamos dividir o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, e tendem a zero, então o limite fica:
Então, para todo , .

Passo 5

Agora, vamos verificar o caso quando :
Portanto, o limite quando também é zero nesse caso.

Passo 6

Até aqui, vimos que para todo , . Isso significa que a sequência de funções converge pontualmente para a função zero.

Passo 7

Agora, vamos investigar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme ocorre se o limite da sequência é alcançado de forma uniforme para todos os no domínio, sem depender de .
Precisamos encontrar:

Passo 8

Para encontrar o supremo, derivamos em relação a e encontramos seu ponto máximo:
Igualando a zero, vemos que quando . Avaliando limites para e , percebemos que o máximo ocorre em algum ponto específico.
Na verdade, para , temos:

Passo 9

Portanto, o supremo de é , e:
Como o supremo também tende a zero, concluímos que a convergência é uniforme.

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para a função zero em todo o domínio e essa convergência é uniforme.

Exercícios relacionados

Verifique que a sequência não tende a zero.
Sejam , e , números reais dados. Suponhamos que a série convirja uniformemente em , a função f. Verifique que
Verifique se a série de funções converge uniformemente para todo .
Estude a função definida por
quando a continuidade, derivabilidade termo a termo.