Verifique se a série de funções sumn=0^+infty x^n e^-n x converge uniformemente para todo x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série de funções converge uniformemente para todo . Isso significa que queremos saber se, conforme somamos mais e mais termos dessa série, a aproximação fica boa de maneira consistente para qualquer valor de maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência uniforme e usar o Teste de Weierstrass.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência uniforme. Diferente da convergência simples, onde a série pode convergir de forma diferente para cada , na convergência uniforme a série converge de maneira “uniforme” para todos os no intervalo considerado. Ou seja, a diferença entre a soma parcial e o limite da série pode ser feita menor que qualquer de forma uniforme para todo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teste de Weierstrass. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência uniforme de séries de funções. Ele diz que se existe uma sequência de números tal que para todo no domínio e converge, então a série converge uniformemente.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste de Weierstrass na nossa série fn(x) = x^n e^-n x . Primeiro, observamos o termo geral da série:
Queremos encontrar uma sequência que seja um limite superior para para todo .

Passo 5

Observando , notamos que para , é sempre positivo e decresce conforme aumenta. O termo cresce com , mas o produto tem um comportamento interessante, pois para cada , há um que maximiza esse produto.

Passo 6

Para encontrar o máximo de ddx (x^n e^-n x) = n x^n-1 e^-n x - n x^n e^-n x = n x^n-1 e^-n x (1 - x) = 0 , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Isso nos dá como ponto crítico.

Passo 7

Portanto, o máximo de Mn = fn(1) = 1^n e^-n cdot 1 = e^-n ocorre em :

Passo 8

Agora, temos que para todo . Vamos verificar se a série converge.

Passo 9

A série sumn=0^+infty e^-n = 11 - e^-1 é uma série geométrica com razão , portanto, ela converge. A soma dela é:

Passo 10

Como encontramos uma sequência que domina e a série converge, pelo Teste de Weierstrass, a série converge uniformemente para todo .

Resposta

A série converge uniformemente para todo .

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