Verifique se a série de funções
converge uniformemente para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série de funções
converge uniformemente para todo
. Isso significa que queremos saber se, conforme somamos mais e mais termos dessa série, a aproximação fica boa de maneira consistente para qualquer valor de
maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência uniforme e usar o Teste de Weierstrass.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência uniforme. Diferente da convergência simples, onde a série pode convergir de forma diferente para cada
, na convergência uniforme a série converge de maneira “uniforme” para todos os
no intervalo considerado. Ou seja, a diferença entre a soma parcial e o limite da série pode ser feita menor que qualquer
de forma uniforme para todo
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teste de Weierstrass. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência uniforme de séries de funções. Ele diz que se existe uma sequência de números
tal que
para todo
no domínio e
converge, então a série
converge uniformemente.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste de Weierstrass na nossa série
. Primeiro, observamos o termo geral da série:
Queremos encontrar uma sequência
que seja um limite superior para
para todo
.
Passo 5
Observando
, notamos que para
,
é sempre positivo e decresce conforme
aumenta. O termo
cresce com
, mas o produto
tem um comportamento interessante, pois para cada
, há um
que maximiza esse produto.
Passo 6
Para encontrar o máximo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Isso nos dá
como ponto crítico.
Passo 7
Portanto, o máximo de
ocorre em
:
Passo 8
Agora, temos que
para todo
. Vamos verificar se a série
converge.
Passo 9
A série
é uma série geométrica com razão
, portanto, ela converge. A soma dela é:
Passo 10
Como encontramos uma sequência
que domina
e a série
converge, pelo Teste de Weierstrass, a série
converge uniformemente para todo
.
Resposta
A série
converge uniformemente para todo
.
Exercícios relacionados
Estude a convergência da sequência
.
Verifique que a sequência
não tende a zero.
Estude a função definida por
quando a continuidade, derivabilidade termo a termo.
Verifique que a série
é convergente. Tal convergência é uniforme para todo
? Justifique.