Verifique que a sequência não tende a zero.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão nos apresenta a sequência de funções e nos solicita para verificar se essa sequência tende a zero quando fica muito grande. O conteúdo envolvido aqui é o de sequências de funções e limites. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular o limite de uma sequência de funções e entender o comportamento da função cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa que uma sequência de funções tende a zero. Isso significa que, para cada ponto fixo , o valor de fica cada vez mais próximo de zero à medida que aumenta. Em termos matemáticos, dizemos que:
Precisamos verificar se isso é verdade para .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função quando aumenta. Sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja:
Isso indica que, independentemente de aumentar, o valor de nunca ultrapassa 1 ou fica abaixo de -1.

Passo 4

Para que a sequência tenda a zero, precisaríamos que se aproximasse cada vez mais de zero à medida que aumenta. Porém, como vimos, continua oscilando entre -1 e 1, não se aproximando de zero. Além disso, podemos considerar que, para certos valores de , pode até se aproximar de 1 ou -1 para infinitos , reforçando que a sequência não está se aproximando de zero.

Resposta

A sequência não tende a zero.

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Sejam , e , números reais dados. Suponhamos que a série convirja uniformemente em , a função f. Verifique que
Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.
Estude a convergência da sequência .
Verifique se a série de funções converge uniformemente para todo .