Verifique que a sequência
não tende a zero.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão nos apresenta a sequência de funções
e nos solicita para verificar se essa sequência tende a zero quando
fica muito grande. O conteúdo envolvido aqui é o de sequências de funções e limites. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular o limite de uma sequência de funções e entender o comportamento da função cosseno.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa que uma sequência de funções
tende a zero. Isso significa que, para cada ponto fixo
, o valor de
fica cada vez mais próximo de zero à medida que
aumenta. Em termos matemáticos, dizemos que:
Precisamos verificar se isso é verdade para
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
quando
aumenta. Sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Ou seja:
Isso indica que, independentemente de
aumentar, o valor de
nunca ultrapassa 1 ou fica abaixo de -1.
Passo 4
Para que a sequência
tenda a zero, precisaríamos que
se aproximasse cada vez mais de zero à medida que
aumenta. Porém, como vimos,
continua oscilando entre -1 e 1, não se aproximando de zero. Além disso, podemos considerar que, para certos valores de
,
pode até se aproximar de 1 ou -1 para infinitos
, reforçando que a sequência não está se aproximando de zero.
Resposta
A sequência
não tende a zero.
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Sejam
, e
, números reais dados. Suponhamos que a série
convirja uniformemente em
, a função f. Verifique que
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Estude a convergência da sequência
.
Verifique se a série de funções
converge uniformemente para todo
.