Sejam
, e
, números reais dados. Suponhamos que a série
convirja uniformemente em
, a função f. Verifique que
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma série de Fourier para uma função
definida no intervalo
. A série está dada em termos dos coeficientes
e
, multiplicados por funções cosseno e seno. O exercício quer que a gente verifique que esses coeficientes podem ser calculados através de integrais envolvendo
,
e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são séries de Fourier e como encontrar os coeficientes através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica
que atende certas condições pode ser expressa como uma série de Fourier:
Aqui,
é o coeficiente que representa a média da função, enquanto
e
são os coeficientes das componentes de cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, usamos fórmulas específicas que envolvem integrais de
multiplicadas por
ou . Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções trigonométricas no intervalo
. Vamos aplicar essas integrais para calcular
,
e
.
Passo 4
Começamos calculando
. A fórmula para
é:
Esta integral calcula a média da função
no intervalo considerado. Isso faz sentido, já que
representa a componente constante da série de Fourier.
Passo 5
Em seguida, calculamos
para
. A fórmula é:
Aqui, multiplicamos
por
e integramos sobre o intervalo. Isso projeta a função
na direção do cosseno de frequência
, extraindo o coeficiente correspondente na série de Fourier.
Passo 6
Finalmente, calculamos
para
:
De forma similar a
, multiplicamos
por e integramos. Isso projeta
na direção do seno de frequência
, obtendo o coeficiente
na série.
Resposta
Assim, verificamos que os coeficientes da série de Fourier são dados por:
Exercícios relacionados
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Verifique que a sequência
não tende a zero.
Estude a convergência da sequência
.