Sejam , e , números reais dados. Suponhamos que a série convirja uniformemente em , a função f. Verifique que

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma série de Fourier para uma função definida no intervalo . A série está dada em termos dos coeficientes e , multiplicados por funções cosseno e seno. O exercício quer que a gente verifique que esses coeficientes podem ser calculados através de integrais envolvendo , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são séries de Fourier e como encontrar os coeficientes através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica que atende certas condições pode ser expressa como uma série de Fourier:
Aqui, é o coeficiente que representa a média da função, enquanto e são os coeficientes das componentes de cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, usamos fórmulas específicas que envolvem integrais de multiplicadas por ou . Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções trigonométricas no intervalo . Vamos aplicar essas integrais para calcular , e .

Passo 4

Começamos calculando . A fórmula para é:
Esta integral calcula a média da função no intervalo considerado. Isso faz sentido, já que representa a componente constante da série de Fourier.

Passo 5

Em seguida, calculamos para . A fórmula é:
Aqui, multiplicamos por e integramos sobre o intervalo. Isso projeta a função na direção do cosseno de frequência , extraindo o coeficiente correspondente na série de Fourier.

Passo 6

Finalmente, calculamos para :
De forma similar a , multiplicamos por e integramos. Isso projeta na direção do seno de frequência , obtendo o coeficiente na série.

Resposta

Assim, verificamos que os coeficientes da série de Fourier são dados por:

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