Estude a convergência das séries:
а) sumn=1^infty sen(pi2-1n);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a convergência da série . Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e, especificamente, vamos precisar saber como testar a convergência de séries usando testes como o teste da comparação ou o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo da série. Sabemos que . Então, podemos reescrever a série assim:

Passo 3

Agora, observamos que quando n cresce, 1n tende a 0. Vamos analisar o comportamento de cos(1n) para ver o que acontece com os termos da série.

Passo 4

Sabemos que, para valores pequenos de x, a aproximação de Taylor para o cosseno é:
cos(x) approx 1 - x^22
Aplicando isso, temos:
cos(1n) approx 1 - 12n^2

Passo 5

Então, a série original se comporta como:
sumn=1^infty (1 - 12n^2) = sumn=1^infty 1 - 12sumn=1^infty 1n^2
Sabemos que sumn=1^infty 1 é uma série divergente, pois soma infinidades de 1.

Passo 6

Mesmo que a segunda parte, sumn=1^infty 1n^2, seja convergente (é a série p com p=2 > 1), a presença da primeira série divergente faz com que a série total também seja divergente.

Resposta

A série diverge.

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