Estude a convergência das séries:
а)
;
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a convergência da série . Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e, especificamente, vamos precisar saber como testar a convergência de séries usando testes como o teste da comparação ou o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo da série. Sabemos que . Então, podemos reescrever a série assim:
Passo 3
Agora, observamos que quando
cresce,
tende a 0. Vamos analisar o comportamento de
para ver o que acontece com os termos da série.
Passo 4
Sabemos que, para valores pequenos de
, a aproximação de Taylor para o cosseno é:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
Então, a série original se comporta como:
Sabemos que
é uma série divergente, pois soma infinidades de 1.
Passo 6
Mesmo que a segunda parte,
, seja convergente (é a série p com
), a presença da primeira série divergente faz com que a série total também seja divergente.
Resposta
A série diverge.
Exercícios relacionados
Estude a convergência das séries:
b) ;
b)
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
(cn), onde , para todo
.
(cn), onde
Estude a convergência das séries:
c) ;
c)
Estude a convergência das séries:
d)
d)