Estude a convergência das séries:
а) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a convergência da série . Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e, especificamente, vamos precisar saber como testar a convergência de séries usando testes como o teste da comparação ou o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo da série. Sabemos que . Então, podemos reescrever a série assim:

Passo 3

Agora, observamos que quando cresce, tende a 0. Vamos analisar o comportamento de para ver o que acontece com os termos da série.

Passo 4

Sabemos que, para valores pequenos de , a aproximação de Taylor para o cosseno é:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Então, a série original se comporta como:
Sabemos que é uma série divergente, pois soma infinidades de 1.

Passo 6

Mesmo que a segunda parte, , seja convergente (é a série p com ), a presença da primeira série divergente faz com que a série total também seja divergente.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries:
b) ;
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
(cn), onde , para todo .
Estude a convergência das séries:
c) ;
Estude a convergência das séries:
d)