Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
(cn), onde e^(-n) <= b_n <= 1/n^4, para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a sequência , que está limitada por e para todo natural, é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e a Regra do Aperto (também conhecida como Teorema do Confronto).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites das sequências que estão confinando . Temos duas sequências:
  1. : Sabemos que . Conforme cresce, cresce exponencialmente, então tende a 0.
  2. : Essa é uma sequência do tipo onde . À medida que aumenta, também cresce muito, fazendo com que tenda a 0.

Passo 3

Agora que sabemos que ambas as sequências e tendem a 0 quando vai para o infinito, podemos usar a Regra do Aperto. Essa regra diz que se uma sequência está sempre entre duas outras sequências que têm o mesmo limite , então também tende a .
No nosso caso:
E vimos que:

Passo 4

Aplicando a Regra do Aperto:
Como está sempre entre duas sequências que tendem a 0, também deve tender a 0. Isso significa que a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

Exercícios relacionados