Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
(cn), onde
, para todo
.
(cn), onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a sequência
, que está limitada por
e
para todo
natural, é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e a Regra do Aperto (também conhecida como Teorema do Confronto).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites das sequências que estão confinando
. Temos duas sequências:
-
: Sabemos que . Conforme cresce, cresce exponencialmente, então tende a 0. -
: Essa é uma sequência do tipo onde . À medida que aumenta, também cresce muito, fazendo com que tenda a 0.
Passo 3
Agora que sabemos que ambas as sequências
e
tendem a 0 quando
vai para o infinito, podemos usar a Regra do Aperto. Essa regra diz que se uma sequência
está sempre entre duas outras sequências que têm o mesmo limite
, então
também tende a
.
No nosso caso:
E vimos que:
Passo 4
Aplicando a Regra do Aperto:
Como está sempre entre duas sequências que tendem a 0,
também deve tender a 0. Isso significa que a sequência
é convergente e seu limite é 0.
Como
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.