Estude a convergência das séries:
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para analisar se a série converge ou não. O assunto aqui é análise de séries, que é parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Cada termo da série é . À medida que aumenta, o numerador cresce linearmente (como uma linha reta), enquanto o denominador cresce exponencialmente (muito mais rápido). Mas precisamos verificar isso matematicamente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 4

Vamos calcular e . Agora, vamos montar a razão:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Como , temos que , que é menor que 1.

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, como , isso significa que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
(cn), onde , para todo .
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
;
Estude a convergência das séries:
а) ;
Estude a convergência das séries:
c) ;