Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para analisar se a série converge ou não. O assunto aqui é análise de séries, que é parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Cada termo da série é . À medida que aumenta, o numerador cresce linearmente (como uma linha reta), enquanto o denominador cresce exponencialmente (muito mais rápido). Mas precisamos verificar isso matematicamente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se o limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui nada.
Passo 4
Vamos calcular e . Agora, vamos montar a razão:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Como , temos que , que é menor que 1.
Passo 6
Segundo o Teste da Razão, como , isso significa que a série converge.