Estude a convergência das séries:
b) sumn=1^infty ne^n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para analisar se a série converge ou não. O assunto aqui é análise de séries, que é parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Cada termo da série é . À medida que aumenta, o numerador cresce linearmente (como uma linha reta), enquanto o denominador cresce exponencialmente (muito mais rápido). Mas precisamos verificar isso matematicamente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série L = limn to infty | an+1an | , se o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = n+1e^n+1ne^n = n+1n cdot e^ne^n+1 = (1 + 1n) cdot 1e e . Agora, vamos montar a razão:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty (1 + 1n) cdot 1e = (1 + 0) cdot 1e = 1e tende ao infinito:
Como , temos que , que é menor que 1.

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, como , isso significa que a série converge.

Resposta

A série converge.

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