Estude a convergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e, especificamente, vamos precisar entender sobre critérios de convergência para decidir se essa série “termina” ou não à medida que somamos seus termos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Podemos fazer uma fração parcial para quebrar esse termo em partes mais simples. A ideia é expressar a fração como a soma de termos que são mais fáceis de lidar quando somamos a série inteira.
Passo 3
Aplicando a fração parcial, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Após resolver (mas para simplificar aqui), descobrimos que:
Passo 4
Agora que temos a série de forma telescópica:
Podemos somar os termos e observar que muitos se cancelam. Ao fazer isso, percebemos que a série converge para um valor finito.
Resposta
A série
converge.