Estude a convergência das séries abaixo: sumk=1^infty 2 k+1k^2(k+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para estudar a convergência da série . Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e, especificamente, vamos precisar entender sobre critérios de convergência para decidir se essa série “termina” ou não à medida que somamos seus termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
2k + 1k^2(k+1)^2
Podemos fazer uma fração parcial para quebrar esse termo em partes mais simples. A ideia é expressar a fração como a soma de termos que são mais fáceis de lidar quando somamos a série inteira.

Passo 3

Aplicando a fração parcial, queremos encontrar constantes 2k + 1k^2(k+1)^2 = Ak + Bk^2 + Ck+1 + D(k+1)^2 e 2k + 1k^2(k+1)^2 = 1k^2 - 1(k+1)^2 tais que:
Após resolver (mas para simplificar aqui), descobrimos que:

Passo 4

Agora que temos a série de forma telescópica:
sumk=1^infty ( 1k^2 - 1(k+1)^2 )
Podemos somar os termos e observar que muitos se cancelam. Ao fazer isso, percebemos que a série converge para um valor finito.

Resposta

A série converge.

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