Determine uma parametrização da reta normal à curva no ponto ;
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nós temos uma curva definida pelas equações paramétricas
O exercício pede para encontrarmos uma parametrização da reta normal à curva no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo, especificamente sobre derivadas e retas tangentes e normais. Vamos precisar calcular a derivada de e para encontrar a inclinação da reta tangente, e então determinar a inclinação da reta normal, que é perpendicular à tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
Essas derivadas nos dão a taxa de variação de e em relação a , que são essenciais para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 3
A inclinação da reta tangente é dada por , que podemos encontrar usando as derivadas que calculamos:
Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos resolver para usando a equação de :
Então, corresponde ao ponto .
Passo 4
Agora que sabemos que , vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se a inclinação da reta tangente é , a inclinação da reta normal será . Então:
Passo 5
Com a inclinação da reta normal e passando pelo ponto , podemos usar a forma pontual da equação da reta:
Substituindo os valores:
Para parametrizar essa reta, podemos expressar e em termos de um novo parâmetro, digamos :
Resposta
A parametrização da reta normal à curva no ponto é