Suponha que a posição de duas partículas no instante t seja dada por sigma(t) = (2 sec(t), 2 tg(t)), 0 <= t < pi / 2 e α(t) = (5 cos t, 3 sen t), 0 <= t <= 2 pi, respectivamente.
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações cartesianas das trajetórias de duas partículas cujas posições são dadas por funções paramétricas em termos de t. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e trigonometria, especialmente no manuseio de funções trigonométricas e na eliminação do parâmetro t para obter a relação entre x e y diretamente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira trajetória: , onde .
Primeiro, identifiquemos as componentes:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t e encontrar uma relação direta entre x e y. Para isso, vamos lembrar das identidades trigonométricas básicas:
  1. Sabemos que , então podemos escrever:

    Isso implica que:
  2. Também sabemos que . Como já encontramos cos(t), podemos expressar em termos de x usando a identidade :
  3. Agora, substituímos e cos(t) na expressão de y:
  4. Para simplificar e obter a equação cartesiana, elevamos ambos os lados ao quadrado:

    Rearranjando, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda trajetória: , onde .
Identificando as componentes:
Nosso objetivo novamente é eliminar t. Vamos fazer o seguinte:
  1. Divida a primeira equação por 5 e a segunda por 3 para isolar cos(t) e :
  2. Agora, utilizamos a identidade trigonométrica :
Essa é a equação de uma elipse.

Resposta

As equações cartesianas das trajetórias são:
  1. Primeira trajetória (hipérbole):
  2. Segunda trajetória (elipse):

Exercícios relacionados