Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações cartesianas das trajetórias de duas partículas cujas posições são dadas por funções paramétricas em termos de . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e trigonometria, especialmente no manuseio de funções trigonométricas e na eliminação do parâmetro para obter a relação entre e diretamente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira trajetória: , onde .
Primeiro, identifiquemos as componentes:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e . Para isso, vamos lembrar das identidades trigonométricas básicas:
  1. Sabemos que , então podemos escrever:

    Isso implica que:
  2. Também sabemos que . Como já encontramos , podemos expressar em termos de usando a identidade :
  3. Agora, substituímos e na expressão de :
  4. Para simplificar e obter a equação cartesiana, elevamos ambos os lados ao quadrado:

    Rearranjando, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda trajetória: , onde .
Identificando as componentes:
Nosso objetivo novamente é eliminar . Vamos fazer o seguinte:
  1. Divida a primeira equação por 5 e a segunda por 3 para isolar e :
  2. Agora, utilizamos a identidade trigonométrica :
Essa é a equação de uma elipse.

Resposta

As equações cartesianas das trajetórias são:
  1. Primeira trajetória (hipérbole):
  2. Segunda trajetória (elipse):

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Seja a curva com equações paramétricas
Calcule sem usar a equação cartesiana de ;
Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Seja a curva com equações paramétricas
Determine uma parametrização da reta normal à curva no ponto ;
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)
Estude a convergência das séries abaixo: