Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações cartesianas das trajetórias de duas partículas cujas posições são dadas por funções paramétricas em termos de
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e trigonometria, especialmente no manuseio de funções trigonométricas e na eliminação do parâmetro
para obter a relação entre
e
diretamente.
Passo 2
Vamos começar com a primeira trajetória:
, onde
.
Primeiro, identifiquemos as componentes:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
. Para isso, vamos lembrar das identidades trigonométricas básicas:
-
Sabemos que
, então podemos escrever:
Isso implica que:
-
Também sabemos que
. Como já encontramos , podemos expressar em termos de usando a identidade : -
Agora, substituímos
e na expressão de : -
Para simplificar e obter a equação cartesiana, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda trajetória:
, onde
.
Identificando as componentes:
Nosso objetivo novamente é eliminar
. Vamos fazer o seguinte:
-
Divida a primeira equação por 5 e a segunda por 3 para isolar
e : -
Agora, utilizamos a identidade trigonométrica
:
Essa é a equação de uma elipse.
Resposta
As equações cartesianas das trajetórias são:
- Primeira trajetória (hipérbole):
- Segunda trajetória (elipse):