Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações cartesianas das trajetórias de duas partículas cujas posições são dadas por funções paramétricas em termos de
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e trigonometria, especialmente no manuseio de funções trigonométricas e na eliminação do parâmetro
para obter a relação entre
e
diretamente.
Passo 2
Vamos começar com a primeira trajetória:
, onde
.
Primeiro, identifiquemos as componentes:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
. Para isso, vamos lembrar das identidades trigonométricas básicas:
-
Sabemos que
, então podemos escrever:
Isso implica que:
-
Também sabemos que
. Como já encontramos , podemos expressar em termos de usando a identidade : -
Agora, substituímos
e na expressão de : -
Para simplificar e obter a equação cartesiana, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda trajetória:
, onde
.
Identificando as componentes:
Nosso objetivo novamente é eliminar
. Vamos fazer o seguinte:
-
Divida a primeira equação por 5 e a segunda por 3 para isolar
e : -
Agora, utilizamos a identidade trigonométrica
:
Essa é a equação de uma elipse.
Resposta
As equações cartesianas das trajetórias são:
- Primeira trajetória (hipérbole):
- Segunda trajetória (elipse):
Exercícios relacionados
Seja
a curva com equações paramétricas
Calcule
sem usar a equação cartesiana de
;
Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Seja
a curva com equações paramétricas
Determine uma parametrização da reta normal à curva
no ponto
;
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor
Estude a convergência das séries abaixo: