Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores x in R há convergência nas séries abaixo: sumn=1^infty x^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão nos pede para usar os testes da razão e da raiz para descobrir para quais valores de em a série converge. Então, vamos precisar conhecer como funcionam esses dois testes de convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos.
Para a série L = limn to infty | an+1an | , o termo geral é . Vamos calcular o limite:

Passo 3

Substituindo an+1an = x^n+1(n+1)^n+1x^nn^n = x^n+1 cdot n^nx^n cdot (n+1)^n+1 = x cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 | tende ao infinito:
limn to infty ( nn+1 )^n = 1e
Sabemos que:
limn to infty 1n+1 = 0
E:
L = |x| cdot 1e cdot 0 = 0
Portanto:

Passo 5

No teste da razão, se , a série converge absolutamente. Aqui, , que é menor que 1 para qualquer valor de . Então, segundo o teste da razão, a série converge para todo .

Passo 6

Vamos verificar com o teste da raiz para confirmar. Esse teste envolve calcular:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Para raiz[n]|an| = raiz[n]| x^nn^n | = |x|n :

Passo 7

Calculando o limite:
L = limn to infty |x|n = 0
Como , pelo teste da raiz, a série também converge para todo .

Resposta

A série converge para todos os valores de .

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