Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão nos pede para usar os testes da razão e da raiz para descobrir para quais valores de em a série converge. Então, vamos precisar conhecer como funcionam esses dois testes de convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos.
Para a série , o termo geral é . Vamos calcular o limite:
Passo 3
Substituindo e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que:
E:
Portanto:
Passo 5
No teste da razão, se , a série converge absolutamente. Aqui, , que é menor que 1 para qualquer valor de . Então, segundo o teste da razão, a série converge para todo .
Passo 6
Vamos verificar com o teste da raiz para confirmar. Esse teste envolve calcular:
Para :
Passo 7
Calculando o limite:
Como , pelo teste da raiz, a série também converge para todo .