Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão nos pede para usar os testes da razão e da raiz para descobrir para quais valores de em a série converge. Então, vamos precisar conhecer como funcionam esses dois testes de convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos.
Para a série , o termo geral é . Vamos calcular o limite:

Passo 3

Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que:
E:
Portanto:

Passo 5

No teste da razão, se , a série converge absolutamente. Aqui, , que é menor que 1 para qualquer valor de . Então, segundo o teste da razão, a série converge para todo .

Passo 6

Vamos verificar com o teste da raiz para confirmar. Esse teste envolve calcular:
Para :

Passo 7

Calculando o limite:
Como , pelo teste da raiz, a série também converge para todo .

Resposta

A série converge para todos os valores de .

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Seja a região do plano limitada pelas curvas e e pelas reta . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo:
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
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