Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
c_n, onde e^(-n^2) <= cn <= 1/n^2, para todo n in N.

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa verificar se a sequência , onde para todo , é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites das duas sequências que estão envolvendo :
  • : À medida que aumenta, cresce rapidamente, fazendo com que se aproxime cada vez mais de zero.
  • : Aqui, conforme cresce, também se aproxima de zero.

Passo 3

Como e ambas as sequências que limitam tendem a zero, podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sando). Esse teorema diz que se e , então .

Resposta

Portanto, a sequência converge para .

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