Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de quatro vetores em um espaço de quatro dimensões. A pergunta é: esses vetores são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e rank de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Por outro lado, são linearmente dependentes se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação dos demais.
Passo 3
Para verificar isso, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna dessa matriz. Assim:
Passo 4
Agora, vamos descobrir o rank dessa matriz. O rank nos diz o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. Se o rank da matriz for igual ao número de vetores (neste caso, 4), então os vetores são linearmente independentes. Se for menor, são linearmente dependentes.
Passo 5
Para encontrar o rank, vamos fazer operações de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma mais simples (forma escalonada). Vamos começar:
- Primeira coluna:
- O primeiro elemento é 1. Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo.
- Subtraia a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
- Segunda coluna:
- O segundo elemento da segunda linha é -2. Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo.
- Já está zero na terceira linha, mas precisamos ajustar a quarta linha:
- Terceira coluna:
- O terceiro elemento da terceira linha é 0, mas na quarta linha é 1. Vamos trocar a terceira e quarta linhas:
- Quarta coluna:
- O quarto elemento da quarta linha é 2. Agora, a matriz está em forma escalonada.
Passo 6
Agora, contamos quantas linhas não nulas temos na matriz escalonada. Neste caso, todas as quatro linhas têm pelo menos um elemento não nulo. Portanto, o rank da matriz é 4.
Resposta
Como o rank da matriz é igual ao número de vetores (4), os vetores fornecidos são linearmente independentes.