Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos saber se ela é diferenciável no ponto . Isso pertence ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à análise de diferenciabilidade em pontos de descontinuidade ou junção de partes da função. Para resolver, vamos precisar verificar se a função é contínua em e se as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), e também o valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, o limite pela direita ( ):

Passo 5

O valor da função em é dado pela segunda parte da definição:

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. Já verificamos a continuidade, então vamos calcular as derivadas de cada parte da função.

Passo 8

Derivada pela esquerda ( ):
A derivada é:
Portanto, a derivada pela esquerda em é 2.

Passo 9

Derivada pela direita ( ):
A derivada é:
Então, a derivada pela direita em é -1.

Passo 10

Comparando as derivadas:
Como 2 não é igual a -1, as derivadas pelas duas direções são diferentes.

Resposta

A função não é diferenciável em , pois as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes apesar da função ser contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.
Encontre a derivada das funções a seguir.
(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções e , determinar:
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.