Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos saber se ela é diferenciável no ponto
. Isso pertence ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à análise de diferenciabilidade em pontos de descontinuidade ou junção de partes da função. Para resolver, vamos precisar verificar se a função é contínua em
e se as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, precisamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
) e pela direita (
), e também o valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
):
Passo 4
Agora, o limite pela direita (
):
Passo 5
O valor da função em
é dado pela segunda parte da definição:
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. Já verificamos a continuidade, então vamos calcular as derivadas de cada parte da função.
Passo 8
Derivada pela esquerda (
):
A derivada é:
Portanto, a derivada pela esquerda em
é 2.
Passo 9
Derivada pela direita (
):
A derivada é:
Então, a derivada pela direita em
é -1.
Passo 10
Comparando as derivadas:
Como 2 não é igual a -1, as derivadas pelas duas direções são diferentes.
Resposta
A função
não é diferenciável em
, pois as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes apesar da função ser contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.
Encontre a derivada das funções a seguir.
(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções
e
, determinar:
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.