Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas usando a definição formal. A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos utilizar o limite que define a derivada de uma função. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada da nossa função.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, identificamos . Agora, precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na definição da derivada:

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada da função é .

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Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
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(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções e , determinar: