Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício! A gente tem a função e precisa estudar se ela é diferenciável no ponto . Ou seja, vamos ver se conseguimos traçar uma reta tangente à função nesse ponto sem nenhum problema. Para isso, precisamos entender o que é diferenciabilidade e como aplicar isso nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada bem definida nesse ponto. Isso significa que a função deve ser suave, sem cantos ou quebras ali.
Agora, vamos olhar para a função . O valor absoluto pode criar um “canto” na função, especialmente onde o que está dentro dele muda de sinal. No nosso caso, isso acontece quando , ou seja, em .

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade em , vamos calcular as derivadas laterais, ou seja, a derivada quando nos aproximamos de 2 pela direita e pela esquerda.
Primeiro, vamos para :
A derivada aqui é a constante:
Agora, para :
A derivada aqui também é uma constante:

Passo 4

Observamos que a derivada quando nos aproximamos de 2 pela direita é 1, e pela esquerda é -1. Como essas duas derivadas laterais são diferentes, isso significa que a derivada não está bem definida em . Em outras palavras, a função tem um “canto” ali e não é suave nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto , pois as derivadas laterais nesse ponto são diferentes.

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