Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar o tipo de ponto crítico que encontramos.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Substituindo a expressão de
da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Isso nos dá
ou
. Porém,
não está no domínio da função porque gera uma divisão por zero. Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação para achar
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 8
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
No ponto crítico
:
Como
e
, isso indica que o ponto é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo local.
Exercícios relacionados
Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
Considere
de uma mistura contendo
de álcool (A) e
de água (B) em fração molar. O processo de destilação diferencial é realizado até que o líquido contido no tanque contenha
do composto mais volátil (em fração molar). A partir dos dados de equilibrio para a mistura etanol e água apresentados na tabela, calcule: (a) a quantidade de líquido que permanece no destilador ao final do processo, (b) a quantidade de destilado e © a concentração de destilado ao final do processo.
Equilibrium Data of the Ethanol-Water System
Equilibrium Data of the Ethanol-Water System
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0.01 | 0.103 | 0.50 | 0.652 |
0.03 | 0.235 | 0.60 | 0.697 |
0.05 | 0.325 | 0.70 | 0.753 |
0.10 | 0.444 | 0.80 | 0.818 |
0.20 | 0.529 | 0.85 | 0.856 |
0.30 | 0.573 | 0.87 | 0.873 |
0.40 | 0.613 | 0.894 | 0.894 |
Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente:
Função: . EDO:
. Resp: SIM
Função: