Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar o tipo de ponto crítico que encontramos.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Substituindo a expressão de
da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Isso nos dá
ou
. Porém,
não está no domínio da função porque gera uma divisão por zero. Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação para achar
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 8
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
No ponto crítico
:
Como
e
, isso indica que o ponto é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo local.