Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar o tipo de ponto crítico que encontramos.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Substituindo a expressão de da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Isso nos dá ou . Porém, não está no domínio da função porque gera uma divisão por zero. Então, .

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação para achar :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 8

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
No ponto crítico :
Como e , isso indica que o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um mínimo local.

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Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
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Calcule todas as derivadas de segunda ordem
Considere de uma mistura contendo de álcool (A) e de água (B) em fração molar. O processo de destilação diferencial é realizado até que o líquido contido no tanque contenha do composto mais volátil (em fração molar). A partir dos dados de equilibrio para a mistura etanol e água apresentados na tabela, calcule: (a) a quantidade de líquido que permanece no destilador ao final do processo, (b) a quantidade de destilado e © a concentração de destilado ao final do processo.
Equilibrium Data of the Ethanol-Water System
0.01 0.103 0.50 0.652
0.03 0.235 0.60 0.697
0.05 0.325 0.70 0.753
0.10 0.444 0.80 0.818
0.20 0.529 0.85 0.856
0.30 0.573 0.87 0.873
0.40 0.613 0.894 0.894
Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente:
Função: . EDO: . Resp: SIM