Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
f(x, y) = 6/x + 6/y + x*y;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar o tipo de ponto crítico que encontramos.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Substituindo a expressão de da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Isso nos dá ou . Porém, não está no domínio da função porque gera uma divisão por zero. Então, .

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação para achar :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 8

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
No ponto crítico :
Como e , isso indica que o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um mínimo local.

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