Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando o método de Gauss-Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada [A|B1| B2].
(a) rx1-2 x2+x3=1 2 x1-5 x2+x3=-2 3 x1-7 x2+2 x3=-1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Gauss-Jordan! Primeiro, vamos entender o que ele pede. Temos um sistema de equações com três variáveis ( x1, x2, x3) e queremos encontrar os valores dessas variáveis que resolvem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar uma matriz aumentada que combina a matriz dos coeficientes ( A) com a matriz dos termos constantes ( B1). O método de Gauss-Jordan nos ajuda a simplificar essa matriz até encontrarmos as soluções.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema. Assim, temos:
1 & -2 & 1 & | & 1 2 & -5 & 1 & | & -2 3 & -7 & 2 & | & -1
Aqui, os números antes do traço vertical representam os coeficientes das variáveis, e os números após o traço são os termos constantes das equações.

Passo 3

O objetivo do método de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde conseguimos identificar facilmente os valores das variáveis. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na primeira linha e primeira coluna).
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 2 na posição (2,1):
Linha2 = Linha2 - 2 × Linha1:
2 - 2×1 = 0 -5 - 2×(-2) = -5 + 4 = -1 1 - 2×1 = 1 - 2 = -1 -2 - 2×1 = -2 - 2 = -4
A matriz fica:
1 & -2 & 1 & | & 1 0 & -1 & -1 & | & -4 3 & -7 & 2 & | & -1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 na posição (3,1) subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 × Linha1:
3 - 3×1 = 0 -7 - 3×(-2) = -7 + 6 = -1 2 - 3×1 = 2 - 3 = -1 -1 - 3×1 = -1 - 3 = -4
A matriz agora é:
1 & -2 & 1 & | & 1 0 & -1 & -1 & | & -4 0 & -1 & -1 & | & -4

Passo 5

Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma das equações é redundante e podemos ignorar a terceira linha. Vamos manter apenas as duas primeiras linhas para simplificar:
1 & -2 & 1 & | & 1 0 & -1 & -1 & | & -4

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Vamos resolver para x2:
-1x2 - 1x3 = -4 Rightarrow -x2 - x3 = -4 Rightarrow x2 = -x3 + 4
Isso nos dá uma relação entre x2 e x3.

Passo 7

Vamos substituir x2 = -x3 + 4 na primeira equação para encontrar x1:
x1 - 2(-x3 + 4) + x3 = 1 x1 + 2x3 - 8 + x3 = 1 x1 + 3x3 = 9 Rightarrow x1 = 9 - 3x3
Então, também temos uma relação entre x1 e x3.

Passo 8

Como temos x3 livre (não está restrito), podemos atribuir um valor arbitrário a x3. Vamos chamar x3 = t, onde t é um parâmetro real qualquer.
Então:
x1 = 9 - 3t x2 = -t + 4 x3 = t

Resposta

As soluções do sistema são infinitas e podem ser expressas em termos de t:
x1 = 9 - 3t x2 = 4 - t x3 = t
onde t é um número real qualquer.

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