Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz . Resolva-os usando o método de Gauss-Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Gauss-Jordan! Primeiro, vamos entender o que ele pede. Temos um sistema de equações com três variáveis (x1, x2, x3) e queremos encontrar os valores dessas variáveis que resolvem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar uma matriz aumentada que combina a matriz dos coeficientes (A) com a matriz dos termos constantes (B1). O método de Gauss-Jordan nos ajuda a simplificar essa matriz até encontrarmos as soluções.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema. Assim, temos:
Aqui, os números antes do traço vertical representam os coeficientes das variáveis, e os números após o traço são os termos constantes das equações.
Passo 3
O objetivo do método de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde conseguimos identificar facilmente os valores das variáveis. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na primeira linha e primeira coluna).
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 2 na posição (2,1):
Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma das equações é redundante e podemos ignorar a terceira linha. Vamos manter apenas as duas primeiras linhas para simplificar:
1 & -2 & 1 & | & 1 0 & -1 & -1 & | & -4
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Vamos resolver para x2: