Estude a posição relativa das retas
e
:
s:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a posição relativa das retas
e
. A reta
está dada na forma paramétrica:
E a reta
está definida pelo sistema de equações:
Vamos usar conhecimentos de geometria vetorial para descobrir se as retas são paralelas, se cruzam ou se são retas que não se encontram (chamadas de retas relativas inclinadas ou “skew” em inglês).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a forma paramétrica da reta
. Para isso, resolvemos o sistema de equações dado.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, podemos parametrizar
como um parâmetro
:
Então, as coordenadas de
ficam:
Portanto, a forma paramétrica da reta
é:
Passo 3
Agora que temos as duas retas na forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada reta:
- Para
: vetor diretor - Para
: vetor diretor
Observamos que
, ou seja, os vetores diretores são proporcionais. Isso indica que as retas são paralelas.
Passo 4
Mesmo sabendo que as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são paralelas distintas. Para isso, vamos verificar se o ponto de uma reta pertence à outra reta.
Vamos pegar o ponto da reta
quando
, que é
, e ver se ele está na reta
.
Substituindo na equação paramétrica de
:
Comparando com o ponto
:
Como os valores de
e
não coincidem, o ponto não pertence à reta
. Portanto, as retas são paralelas distintas.
Resposta
As retas
e
são paralelas e não coincidentes, ou seja, são retas paralelas distintas.
Exercícios relacionados
Determinar as equações das seguintes retas: reta que passa por
e é paralela ao eixo
;
Determinar as equações paramétricas da reta que passa por
c) e é perpendicular ao plano
;
c)
Ortonormalize as bases de
e de
abaixo pelo processo de Gram-Schmidt:
.
Determinar o valor de
para que os vetores
e
sejam