Estude a posição relativa das retas e : s:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a posição relativa das retas e . A reta está dada na forma paramétrica:
E a reta está definida pelo sistema de equações:
Vamos usar conhecimentos de geometria vetorial para descobrir se as retas são paralelas, se cruzam ou se são retas que não se encontram (chamadas de retas relativas inclinadas ou “skew” em inglês).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a forma paramétrica da reta . Para isso, resolvemos o sistema de equações dado.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, podemos parametrizar como um parâmetro :
Então, as coordenadas de ficam:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora que temos as duas retas na forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada reta:
  • Para : vetor diretor
  • Para : vetor diretor
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são proporcionais. Isso indica que as retas são paralelas.

Passo 4

Mesmo sabendo que as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são paralelas distintas. Para isso, vamos verificar se o ponto de uma reta pertence à outra reta.
Vamos pegar o ponto da reta quando , que é , e ver se ele está na reta .
Substituindo na equação paramétrica de :
Comparando com o ponto :
Como os valores de e não coincidem, o ponto não pertence à reta . Portanto, as retas são paralelas distintas.

Resposta

As retas e são paralelas e não coincidentes, ou seja, são retas paralelas distintas.

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