Estude as posições relativas do planos: e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem dois planos no espaço, dados pelas equações:
A pergunta é: qual a posição relativa desses dois planos? Ou seja, eles são paralelos, coincidentes ou se interceptam? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos no espaço e como comparar suas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada plano no espaço é definido por uma equação na forma geral:
Nessa equação, é o vetor normal ao plano, que indica a direção perpendicular ao plano. Então, para os nossos planos:
  • Plano : O vetor normal é
  • Plano : O vetor normal é

Passo 3

Agora, para saber a posição relativa dos planos, vamos analisar os vetores normais. Se os vetores normais são múltiplos um do outro, ou seja, se existe um número tal que , então os planos são paralelos.
Vamos ver se esse é o caso aqui:
Como é exatamente duas vezes , concluímos que os planos são paralelos.

Passo 4

Mas tem mais! Dois planos paralelos podem ser:
  1. Coincidentes: Se eles são exatamente o mesmo plano.
  2. Distintos: Se estão separados e nunca se encontram.
Para saber qual é o caso, basta verificar se uma das equações dos planos pode ser obtida multiplicando a outra por um número e adicionando ou subtraindo uma constante. Outra maneira é pegar um ponto que está em um dos planos e ver se ele também está no outro.
Vamos pegar um ponto no plano . Por exemplo, quando e , temos:
Então, o ponto está no plano . Vamos ver se esse ponto está no plano :
Como , o ponto não está no plano . Isso significa que os planos não são coincidentes, mas sim paralelos e distintos.

Resposta

Os planos e são paralelos e distintos, ou seja, nunca se encontram no espaço.

Exercícios relacionados

Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades: , onde,
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(b)
Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
(a)
Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: e .