Estude as posições relativas do planos:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem dois planos no espaço, dados pelas equações:
A pergunta é: qual a posição relativa desses dois planos? Ou seja, eles são paralelos, coincidentes ou se interceptam? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos no espaço e como comparar suas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada plano no espaço é definido por uma equação na forma geral:
Nessa equação,
é o vetor normal ao plano, que indica a direção perpendicular ao plano. Então, para os nossos planos:
- Plano
: O vetor normal é - Plano
: O vetor normal é
Passo 3
Agora, para saber a posição relativa dos planos, vamos analisar os vetores normais. Se os vetores normais são múltiplos um do outro, ou seja, se existe um número
tal que
, então os planos são paralelos.
Vamos ver se esse é o caso aqui:
Como
é exatamente duas vezes
, concluímos que os planos são paralelos.
Passo 4
Mas tem mais! Dois planos paralelos podem ser:
- Coincidentes: Se eles são exatamente o mesmo plano.
- Distintos: Se estão separados e nunca se encontram.
Para saber qual é o caso, basta verificar se uma das equações dos planos pode ser obtida multiplicando a outra por um número e adicionando ou subtraindo uma constante. Outra maneira é pegar um ponto que está em um dos planos e ver se ele também está no outro.
Vamos pegar um ponto no plano
. Por exemplo, quando
e
, temos:
Então, o ponto
está no plano
. Vamos ver se esse ponto está no plano
:
Como
, o ponto
não está no plano
. Isso significa que os planos não são coincidentes, mas sim paralelos e distintos.
Resposta
Os planos
e
são paralelos e distintos, ou seja, nunca se encontram no espaço.
Exercícios relacionados
Seja
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial
, que possui base canônica
. Faça a demostração das propriedades:
, onde,
Obtenha a interseção da reta
com o plano
:
(b)
(b)
Obtenha uma equação vetorial da reta
a partir de suas equações planares.
(a)
(a)
Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção:
e
.