Estude o sinais das funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão que pede para a gente estudar os sinais da função . O conteúdo aqui envolve análise de sinais de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender como identificar onde a função é positiva, negativa ou nula.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da fração separadamente, já que o sinal da função inteira depende desses dois componentes.

Passo 3

Vamos começar com o numerador: . Aqui, o fator 2 é sempre positivo porque multiplicar qualquer coisa por 2 não muda o sinal. Então, o sinal do numerador vai depender de .
  • Se , então e . Nesse caso, o numerador é positivo.
  • Se , então . Nesse caso, o numerador é zero.
  • Se , então e ou . Nesse caso, o numerador é negativo.
Agora, vamos para o denominador: . Como qualquer número ao quadrado é positivo e somando 1 com (que também é sempre positivo ou zero), o denominador nunca será negativo. Na verdade, ele é sempre positivo, exceto quando tende ao infinito, mas para todos os valores reais de , o denominador é positivo.

Passo 4

Juntando as informações:
  • Quando , o numerador é positivo e o denominador também é positivo, então a função inteira é positiva.
  • Quando , o numerador é zero, então a função é zero.
  • Quando ou , o numerador é negativo e o denominador é positivo, então a função inteira é negativa.

Resposta

A função é positiva para valores de entre -1 e 1, nula nos pontos e , e negativa para menores que -1 ou maiores que 1.

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