Estude o sinais das funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão que pede para a gente estudar os sinais da função
. O conteúdo aqui envolve análise de sinais de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender como identificar onde a função é positiva, negativa ou nula.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da fração separadamente, já que o sinal da função inteira depende desses dois componentes.
Passo 3
Vamos começar com o numerador:
. Aqui, o fator 2 é sempre positivo porque multiplicar qualquer coisa por 2 não muda o sinal. Então, o sinal do numerador vai depender de
.
- Se
, então e . Nesse caso, o numerador é positivo. - Se
, então . Nesse caso, o numerador é zero. - Se
, então e ou . Nesse caso, o numerador é negativo.
Agora, vamos para o denominador:
. Como qualquer número ao quadrado é positivo e somando 1 com
(que também é sempre positivo ou zero), o denominador nunca será negativo. Na verdade, ele é sempre positivo, exceto quando
tende ao infinito, mas para todos os valores reais de
, o denominador é positivo.
Passo 4
Juntando as informações:
- Quando
, o numerador é positivo e o denominador também é positivo, então a função inteira é positiva. - Quando
, o numerador é zero, então a função é zero. - Quando
ou , o numerador é negativo e o denominador é positivo, então a função inteira é negativa.
Resposta
A função
é positiva para valores de
entre -1 e 1, nula nos pontos
e
, e negativa para
menores que -1 ou maiores que 1.
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