Estude o sinais das funções:

Passo 1

Então, a gente precisa estudar o sinal da função . Isso faz parte da matéria de funções e inequações. Pra resolver isso, a gente vai precisar analisar onde a função é positiva, negativa ou igual a zero, identificando os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. O numerador é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:
Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 3

Agora que fatoramos, nossa função fica:
Perceba que temos um fator comum no numerador e denominador. Isso significa que a função tem uma restrição: , pois não podemos dividir por zero.

Passo 4

Vamos identificar os pontos onde o numerador ou o denominador são zero:
  • Numerador: quando ou .
  • Denominador: quando ou .
Esses pontos são importantes porque mudam o sinal da função. Vamos usar eles para dividir a reta dos números reais em intervalos.

Passo 5

Os pontos críticos são , e . Agora, vamos analisar o sinal da função em cada intervalo definido por esses pontos:

Passo 6

Vamos escolher um valor teste em cada intervalo e verificar o sinal da função:
  1. Para , vamos usar :
Então, a função é positiva nesse intervalo.
  1. Para , vamos usar :
Então, a função é negativa nesse intervalo.
  1. Para , vamos usar :
Então, a função é positiva nesse intervalo.
  1. Para , vamos usar :
Então, a função é positiva nesse intervalo.

Resposta

A função é positiva para , e , e negativa para . Além disso, a função não está definida em .

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Prove por indução que para todo .