Estude o sinais das funções:
Passo 1
Então, a gente precisa estudar o sinal da função
. Isso faz parte da matéria de funções e inequações. Pra resolver isso, a gente vai precisar analisar onde a função é positiva, negativa ou igual a zero, identificando os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. O numerador
é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:
Agora, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então:
Passo 3
Agora que fatoramos, nossa função fica:
Perceba que temos um fator comum
no numerador e denominador. Isso significa que a função tem uma restrição:
, pois não podemos dividir por zero.
Passo 4
Vamos identificar os pontos onde o numerador ou o denominador são zero:
- Numerador:
quando ou . - Denominador:
quando ou .
Esses pontos são importantes porque mudam o sinal da função. Vamos usar eles para dividir a reta dos números reais em intervalos.
Passo 5
Os pontos críticos são
,
e
. Agora, vamos analisar o sinal da função em cada intervalo definido por esses pontos:
Passo 6
Vamos escolher um valor teste em cada intervalo e verificar o sinal da função:
- Para
, vamos usar :
Então, a função é positiva nesse intervalo.
- Para
, vamos usar :
Então, a função é negativa nesse intervalo.
- Para
, vamos usar :
Então, a função é positiva nesse intervalo.
- Para
, vamos usar :
Então, a função é positiva nesse intervalo.
Resposta
A função
é positiva para
,
e
, e negativa para
. Além disso, a função não está definida em
.
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Prove por indução que para todo
.