Resova as inequações abaixo: (x^2 - 9) / (x + 1) > 2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a inequação:
Isso significa que queremos encontrar os valores de que fazem com que a expressão à esquerda seja maior que 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de inequações racionais e entender como manipular expressões com frações.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a resolução. Subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para subtrair 2, precisamos expressá-lo com o mesmo denominador :
Simplificando o numerador:
Distribuindo o -2:
Simplificando mais:

Passo 4

Vamos agora encontrar os valores de que tornam o numerador ou o denominador igual a zero, pois esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos para analisarmos o sinal da expressão.
Numerador:
Resolvendo essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz:
Portanto:
Denominador:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.

Passo 6

Intervalo 1:
  • Numerador ( ): positivo
  • Denominador ( ): negativo
  • Sinal da fração: negativo
Intervalo 2:
  • Numerador: negativo
  • Denominador: negativo
  • Sinal da fração: positivo
Intervalo 3:
  • Numerador: negativo
  • Denominador: positivo
  • Sinal da fração: negativo
Intervalo 4:
  • Numerador: positivo
  • Denominador: positivo
  • Sinal da fração: positivo

Passo 7

Estamos procurando os intervalos onde a fração é maior que zero, ou seja, positiva. Observando os sinais:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 4:

Resposta

A solução da inequação é:

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