Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de x em R onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas.
(x + 1/2)(x - 2/3)(x + 2/5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar o sinal da expressão (x + 1/2)(x - 2/3)(x + 2/5) para todos os números reais x. Isso significa que precisamos descobrir onde essa expressão é positiva, negativa, zero ou até onde ela não está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e como os seus sinais mudam dependendo dos valores de x.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de x que tornam cada fator da expressão igual a zero. Isso é importante porque esses pontos são onde a expressão como um todo muda de sinal.
Temos três fatores:
Esses valores são chamados de raízes ou zeros da expressão.

Passo 3

Agora que sabemos onde a expressão é igual a zero, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos usando esses pontos. Nossos pontos são , e . Organizamos esses números em ordem crescente para facilitar:
Esses intervalos vão nos ajudar a testar o sinal da expressão em cada um deles.

Passo 4

Vamos agora determinar o sinal da expressão em cada intervalo. Para isso, escolhemos um valor de x dentro de cada intervalo e substituímos nos três fatores para ver se são positivos ou negativos.
  1. Para (por exemplo, ):
    • → negativo
    • → negativo
    • → negativo
    • Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
  2. Para (por exemplo, ):
    • → positivo
    • → negativo
    • → positivo
    • Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
  3. Para (por exemplo, x = 0):
    • → positivo
    • → negativo
    • → positivo
    • Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
  4. Para (por exemplo, x = 1):
    • → positivo
    • → positivo
    • → positivo
    • Produto: positivo × positivo × positivo = positivo

Passo 5

Agora, vamos resumir os sinais encontrados em cada intervalo e marcar os pontos onde a expressão é igual a zero.
  • : Negativo
  • : Zero
  • : Negativo
  • x = - 2/5: Zero
  • : Negativo
  • x = 2/3: Zero
  • : Positivo

Resposta

A expressão (x + 1/2)(x - 2/3)(x + 2/5) é:
  • Negativa para
  • Zero nos pontos , e
  • Positiva para

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