Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de
onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar o sinal da expressão
para todos os números reais
. Isso significa que precisamos descobrir onde essa expressão é positiva, negativa, zero ou até onde ela não está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e como os seus sinais mudam dependendo dos valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que tornam cada fator da expressão igual a zero. Isso é importante porque esses pontos são onde a expressão como um todo muda de sinal.
Temos três fatores:
-
→ -
→ -
→
Esses valores são chamados de raízes ou zeros da expressão.
Passo 3
Agora que sabemos onde a expressão é igual a zero, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos usando esses pontos. Nossos pontos são
,
e
. Organizamos esses números em ordem crescente para facilitar:
Esses intervalos vão nos ajudar a testar o sinal da expressão em cada um deles.
Passo 4
Vamos agora determinar o sinal da expressão em cada intervalo. Para isso, escolhemos um valor de
dentro de cada intervalo e substituímos nos três fatores para ver se são positivos ou negativos.
-
Para
(por exemplo, ): -
→ negativo -
→ negativo -
→ negativo - Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
-
-
Para
(por exemplo, ): -
→ positivo -
→ negativo -
→ positivo - Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
-
-
Para
(por exemplo, ): -
→ positivo -
→ negativo -
→ positivo - Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
-
-
Para
(por exemplo, ): -
→ positivo -
→ positivo -
→ positivo - Produto: positivo × positivo × positivo = positivo
-
Passo 5
Agora, vamos resumir os sinais encontrados em cada intervalo e marcar os pontos onde a expressão é igual a zero.
-
: Negativo -
: Zero -
: Negativo - x = -
: Zero -
: Negativo - x =
: Zero -
: Positivo
Resposta
A expressão
é:
- Negativa para
- Zero nos pontos
, e - Positiva para