Dica: Nos itens i) e j) usar exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites e o uso de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Vamos olhar para a parte que está dentro do parênteses:
Quando se aproxima de 0, o termo se comporta como , porque é muito pequeno comparado a 2. Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, temos a expressão:
Isso pode ser complicado para calcular diretamente, então vamos usar a propriedade dos logaritmos para simplificar. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Agora, o limite fica:
Então, precisamos calcular o limite dentro do expoente:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. À medida que fica muito pequeno, cresce sem limites, então:

Passo 6

Substituindo na expressão do limite:
Vamos dividir isso em duas partes:

Passo 7

Calculando cada parte:
  1. , porque se aproxima de 0.
Para a segunda parte, sabemos que tende a quando tende a 0, mas multiplicado por que tende a 0, precisamos ver o comportamento. O limite de quando é 0. Portanto:

Passo 8

Juntando as duas partes:

Passo 9

Agora, voltando à expressão original com o expoente:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Suponha que e .
Determine o intervalo formado pelos valores possiveis de :
Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas.
Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.