Dica: Nos itens i) e j) usar exponencial.
Dica: Nos itens i) e j) usar exponencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve cálculo de limites e o uso de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Vamos olhar para a parte que está dentro do parênteses:
Quando
se aproxima de 0, o termo
se comporta como
, porque
é muito pequeno comparado a 2. Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, temos a expressão:
Isso pode ser complicado para calcular diretamente, então vamos usar a propriedade dos logaritmos para simplificar. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 4
Agora, o limite fica:
Então, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. À medida que
fica muito pequeno,
cresce sem limites, então:
Passo 6
Substituindo na expressão do limite:
Vamos dividir isso em duas partes:
Passo 7
Calculando cada parte:
-
, porque se aproxima de 0. -
Para a segunda parte, sabemos que
tende a
quando
tende a 0, mas multiplicado por
que tende a 0, precisamos ver o comportamento. O limite de
quando
é 0. Portanto:
Passo 8
Juntando as duas partes:
Passo 9
Agora, voltando à expressão original com o expoente:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
.
Determine o intervalo formado pelos valores possiveis de
:
Determine o intervalo
Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de
onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas.
Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.