lim x 0(1+x+2x^2)^x
Dica: Nos itens i) e j) usar exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites e o uso de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Vamos olhar para a parte que está dentro do parênteses:
1 + x + 2x^2
Quando 1 + 2x^2 se aproxima de 0, o termo se comporta como , porque é muito pequeno comparado a 2. Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, temos a expressão:
(1 + 2x^2)^x
Isso pode ser complicado para calcular diretamente, então vamos usar a propriedade dos logaritmos para simplificar. Sabemos que:
a^b = e^b cdot ln(a)
Aplicando isso à nossa expressão:
(1 + 2x^2)^x = e^x cdot ln(1 + 2x^2)

Passo 4

Agora, o limite fica:
limx to 0 e^x cdot ln(1 + 2x^2) = e^limx to 0 x cdot ln(1 + 2x^2)
Então, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
limx to 0 x cdot ln(1 + 2x^2)

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de ln(1 + 2x^2) approx ln(2x^2) = ln(2) - 2ln|x| quando se aproxima de 0. À medida que fica muito pequeno, cresce sem limites, então:

Passo 6

Substituindo na expressão do limite:
limx to 0 x cdot (ln(2) - 2ln|x|) = limx to 0 (x cdot ln(2) - 2x cdot ln|x|)
Vamos dividir isso em duas partes:

Passo 7

Calculando cada parte:
  1. limx to 0 -2x cdot ln|x| = 0 , porque se aproxima de 0.
Para a segunda parte, sabemos que tende a quando tende a 0, mas multiplicado por que tende a 0, precisamos ver o comportamento. O limite de quando é 0. Portanto:

Passo 8

Juntando as duas partes:
limx to 0 (x cdot ln(2) - 2x cdot ln|x|) = 0 - 0 = 0

Passo 9

Agora, voltando à expressão original com o expoente:
e^limx to 0 x cdot ln(1 + 2x^2) = e^0 = 1

Resposta

O limite é .

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