Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de x em R onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas. ((x+1)(2-3x)) / (x(x+2))

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. Precisamos estudar o sinal da expressão para todos os valores de x em R. Isso faz parte do conteúdo de análise de sinais em matemática. Para resolver isso, vamos identificar onde a expressão é positiva, negativa, zero ou não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de x que fazem o numerador ou o denominador igual a zero, porque esses pontos são importantes para determinar onde a expressão muda de sinal ou não está definida.
Numerador:
Denominador:
  • x = 0

Passo 3

Agora, temos os seguintes pontos críticos que dividem a reta real em intervalos:
  • x = 0
Esses pontos vão nos ajudar a determinar os intervalos para analisar o sinal da expressão.

Passo 4

Vamos listar os intervalos criados por esses pontos:

Passo 5

Em cada intervalo, vamos escolher um valor de x e determinar o sinal de cada fator da expressão .
  1. Intervalo (por exemplo, ):
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • Expressão: (negativa)
  2. Intervalo (por exemplo, ):
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • Expressão: (positiva)
  3. Intervalo (por exemplo, ):
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • Expressão: (negativa)
  4. Intervalo (por exemplo, ):
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Expressão: (positiva)
  5. Intervalo (por exemplo, x = 1):
    • (positivo)
    • (negativo)
    • x = 1 (positivo)
    • (positivo)
    • Expressão: (negativa)

Resposta

A expressão é:
  • Negativa para , e
  • Positiva para e
  • Zero quando ou
  • Não definida quando ou x = 0

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