Probar que los siguientes límites no existen:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2
Esse problema está relacionado ao estudo de limites em duas variáveis. Para analisar se esse limite existe ou não, vamos verificar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho x^2 cdot 0^2x^2 cdot 0^2 + (x - 0)^2 = 00 + x^2 = 0 e ver o que acontece com a expressão do limite:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo (onde ), o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher o caminho x^2 cdot x^2x^2 cdot x^2 + (x - x)^2 = x^4x^4 + 0 = 1 . Substituindo por na função, temos:
Dessa forma, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é 1.

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos caminhos e são diferentes (0 e 1, respectivamente). Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de .

Resposta

Como os limites são diferentes ao nos aproximarmos por caminhos distintos, o limite não existe.

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