Estudiar la continuidad de g(x, y)=cccx^2 cdot yx^2+y^4 & si & (x, y) neq(0,0) 0 & si & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função é contínua no ponto . O que significa ser contínua? Basicamente, precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e entender como avaliar esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função g(x, y) = x^2 cdot yx^2 + y^4 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) está definida. Ela é dada por:
Para estudar a continuidade em , precisamos verificar o limite da função quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando . Isso significa que tanto quanto estão indo para zero. Olhando para a expressão , precisamos ver se esse valor se aproxima de zero.

Passo 4

Uma maneira de avaliar limites de funções de várias variáveis é examinar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor.

Passo 5

Vamos considerar dois caminhos simples:
  1. Caminho g(x, 0) = x^2 cdot 0x^2 + 0 = 0 :
    g(0, y) = 0 cdot y0 + y^4 = 0
    Então, o limite é 0.
  2. Caminho :
    Novamente, o limite é 0.

Passo 6

Para garantir que o limite é 0 independentemente do caminho, vamos usar desigualdades. Observamos que:
|g(x, y)| = |x^2 cdot yx^2 + y^4| <= x^2 cdot |y|x^2 = |y|
Como quando , então .

Passo 7

Já que conseguimos mostrar que o limite de quando é 0, e como , concluímos que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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