Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função é contínua no ponto . O que significa ser contínua? Basicamente, precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e entender como avaliar esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida. Ela é dada por:
Para estudar a continuidade em , precisamos verificar o limite da função quando se aproxima de .
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando . Isso significa que tanto quanto estão indo para zero. Olhando para a expressão , precisamos ver se esse valor se aproxima de zero.
Passo 4
Uma maneira de avaliar limites de funções de várias variáveis é examinar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor.
Passo 5
Vamos considerar dois caminhos simples:
Caminho :
Então, o limite é 0.
Caminho :
Novamente, o limite é 0.
Passo 6
Para garantir que o limite é 0 independentemente do caminho, vamos usar desigualdades. Observamos que:
Como quando , então .
Passo 7
Já que conseguimos mostrar que o limite de quando é 0, e como , concluímos que a função é contínua nesse ponto.