Probar que los siguientes límites no existen:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites em funções de duas variáveis. O problema é provar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar o conceito de caminhos diferentes para chegar ao ponto
e ver se o limite varia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para funções de duas variáveis, o limite pode depender do caminho que você escolhe para se aproximar do ponto
. Se obtivermos resultados diferentes ao seguir caminhos diferentes, isso mostra que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo um caminho simples: y = 0. Isso significa que estamos nos aproximando de
ao longo do eixo x.
Substituindo
na função:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos tentar x = y². Isso significa que estamos nos aproximando de
de uma curva onde
é igual a
ao quadrado.
Substituindo
na função:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Passo 5
Comparando os dois resultados obtidos:
- Pelo caminho
, o limite é 0. - Pelo caminho
, o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso prova que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em limites diferentes.
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Estudiar la continuidad de
Calcular los siguientes límites.