Probar que los siguientes límites no existen:
lim (x, y) (0,0) 5 x y^2x^2+y^4=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites em funções de duas variáveis. O problema é provar que o limite
lim (x, y) (0,0) 5 x y^2x^2+y^4
não existe. Para isso, vamos usar o conceito de caminhos diferentes para chegar ao ponto e ver se o limite varia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para funções de duas variáveis, o limite pode depender do caminho que você escolhe para se aproximar do ponto . Se obtivermos resultados diferentes ao seguir caminhos diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo um caminho simples: y = 0. Isso significa que estamos nos aproximando de 5 x (0)^2x^2 + (0)^4 = 0x^2 = 0 ao longo do eixo x.
Substituindo na função:
Então, ao seguir o caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos tentar x = y². Isso significa que estamos nos aproximando de 5 (y^2) y^2(y^2)^2 + y^4 = 5 y^4y^4 + y^4 = 5 y^42 y^4 = 52 de uma curva onde é igual a ao quadrado.
Substituindo na função:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 5

Comparando os dois resultados obtidos:
  • Pelo caminho , o limite é 0.
  • Pelo caminho , o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso prova que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em limites diferentes.

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