Probar que los siguientes límites no existen:
lim (x, y) (1,1) x-y^4x^3-y^2=

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que o limite
lim (x, y) (1,1) x - y^4x^3 - y^2
não existe. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que um limite não existe, normalmente calculamos o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam ao ponto e verificamos se os resultados são diferentes.

Passo 2

Primeiro, escolhemos o caminho onde x - (1)^4x^3 - (1)^2 = x - 1x^3 - 1 e deixamos x - 1(x - 1)(x^2 + x + 1) = 1x^2 + x + 1 se aproximar de 1. Substituindo 11^2 + 1 + 1 = 13 na função:
Simplificando o denominador usando a fórmula :
Agora, calculamos o limite quando :
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, escolhemos outro caminho, por exemplo, 1 - y^41^3 - y^2 = 1 - y^41 - y^2 e deixamos 1 - y^4 = (1 - y^2)(1 + y^2) se aproximar de 1. Substituindo (1 - y^2)(1 + y^2)1 - y^2 = 1 + y^2 na função:
1 + (1)^2 = 2
Factorizando o numerador:
Então:
Calculando o limite quando :
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 4

Com dois caminhos diferentes resultando em limites distintos ( e ), podemos concluir que o limite geral não existe. Isso ocorre porque, para o limite existir em duas variáveis, ele deve ser o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe.

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