Um estudo ambiental de uma certa comunidade sugere-se que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar seja dado por
onde t é o tempo em anos. Qual a taxa instantânea de monóxido de carbono em 8 anos?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá uma função que representa o nível médio diário de monóxido de carbono no ar ao longo do tempo,
, onde
é o tempo em anos. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, para encontrar a taxa instantânea de monóxido de carbono após 8 anos. Vamos precisar calcular a derivada da função
e depois avaliar essa derivada no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea dessa função em relação a uma variável, que nesse caso é o tempo
. Então, queremos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A função
é uma fração, ou seja, uma função racional. Para derivar uma função desse tipo, usamos a Regra do Quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que se
, então:
Passo 4
Vamos identificar as partes da nossa fun��ão:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplicamos os termos:
Agora, Subtraímos:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 9
Agora que temos a derivada, queremos encontrar a taxa instantânea em
anos. Basta substituir
na expressão de
:
Resposta
A taxa instantânea de monóxido de carbono em 8 anos é
unidades por ano.