Um estudo ambiental de uma certa comunidade sugere-se que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar seja dado por P = (25 t^2 + 125) / (t^2 + 1), 0 <= t <= 10 onde t é o tempo em anos. Qual a taxa instantânea de monóxido de carbono em 8 anos?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá uma função que representa o nível médio diário de monóxido de carbono no ar ao longo do tempo, , onde é o tempo em anos. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, para encontrar a taxa instantânea de monóxido de carbono após 8 anos. Vamos precisar calcular a derivada da função e depois avaliar essa derivada no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea dessa função em relação a uma variável, que nesse caso é o tempo . Então, queremos encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

A função é uma fração, ou seja, uma função racional. Para derivar uma função desse tipo, usamos a Regra do Quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que se , então:

Passo 4

Vamos identificar as partes da nossa fun��ão:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 5

Calculando :
Calculando :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplicamos os termos:
Agora, Subtraímos:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 9

Agora que temos a derivada, queremos encontrar a taxa instantânea em anos. Basta substituir na expressão de :

Resposta

A taxa instantânea de monóxido de carbono em 8 anos é unidades por ano.

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