Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ser começado é dado por v(t) = 20 t^2 - 1200 t + 1800. Calcule a variação do volume da água para t = 2 horas de escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre um reservatório de água que está sendo esvaziado. A função que descreve a quantidade de água no reservatório, em litros, depois de t horas é . Nosso objetivo aqui é descobrir como o volume da água está mudando exatamente às horas de escoamento. Para isso, vamos usar o conceito de taxa de variação, que na matemática é representado pela derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa na qual essa função está mudando em um determinado ponto. No nosso caso, queremos saber a taxa de variação do volume da água em relação ao tempo, ou seja, quanto o volume está diminuindo por hora às horas.

Passo 3

Para encontrar a derivada da função , vamos aplicar as regras básicas de derivação:
  • A derivada de t^n é .
  • A derivada de uma constante multiplicada por t é a constante.
  • A derivada de uma constante pura é 0.
Aplicando isso:

Passo 4

Agora que temos a derivada da função, , queremos saber qual é essa taxa de variação quando horas. Basta substituir t por na expressão da derivada:

Resposta

A variação do volume da água às horas de escoamento é de litros por hora. Isso significa que o volume de água está diminuindo a uma taxa de litros a cada hora nesse instante.

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