Um forno industrial assa seus produtos à temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de funcionamento, é dada por:
T(t) = (20t^2 + 5t + 32) / (t + 2), t em minutos T(t) em graus Celcius.
c) Calcule a variação instantânea da temperatura para t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um forno industrial que aquece até 608 graus Celsius, e a temperatura do forno ao longo do tempo é dada pela função:
Aqui, é o tempo em minutos e é a temperatura em graus Celsius. A pergunta é para calcular a variação instantânea da temperatura quando minutos. Isso significa que precisamos encontrar a taxa de mudança da temperatura naquele exato momento, ou seja, a derivada da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação instantânea da temperatura corresponde à derivada da função em relação ao tempo . A derivada nos dá a inclinação da função naquele ponto, ou seja, quão rápido a temperatura está mudando em .
Então, nosso objetivo é encontrar , onde é a derivada de .

Passo 3

Para encontrar a derivada de , que é uma função fracionária, vamos usar a Regra do Quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma , então a derivada é:
Onde:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 6

Primeiro, expandimos os termos do numerador:
Subtraímos :

Passo 7

Então, a derivada fica:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão da derivada para encontrar a variação instantânea:
Vamos calcular cada parte:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 9

Portanto:

Resposta

A variação instantânea da temperatura para minutos é 13,625 graus Celsius por minuto.

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