Um forno industrial assa seus produtos à temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de funcionamento, é dada por:
em minutos
em graus Celcius.
c) Calcule a variação instantânea da temperatura para
.
c) Calcule a variação instantânea da temperatura para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um forno industrial que aquece até 608 graus Celsius, e a temperatura do forno ao longo do tempo é dada pela função:
Aqui,
é o tempo em minutos e
é a temperatura em graus Celsius. A pergunta é para calcular a variação instantânea da temperatura quando
minutos. Isso significa que precisamos encontrar a taxa de mudança da temperatura naquele exato momento, ou seja, a derivada da função
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variação instantânea da temperatura corresponde à derivada da função
em relação ao tempo
. A derivada nos dá a inclinação da função naquele ponto, ou seja, quão rápido a temperatura está mudando em
.
Então, nosso objetivo é encontrar
, onde
é a derivada de
.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, que é uma função fracionária, vamos usar a Regra do Quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma
, então a derivada
é:
Onde:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 6
Primeiro, expandimos os termos do numerador:
Subtraímos
:
Passo 7
Então, a derivada fica:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão da derivada para encontrar a variação instantânea:
Vamos calcular cada parte:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 9
Portanto:
Resposta
A variação instantânea da temperatura para
minutos é 13,625 graus Celsius por minuto.
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