No estudo de crescimento populacional, engenheiros de transporte podem achar necessário determinar separadamente a tendência de crescimento da população de uma cidade e do subúrbio adjacente. A população da área urbana está diminuindo com o tempo de acordo com
Enquanto a população suburbana cresce de acordo com o seguinte modelo
Onde são parâmetros determinados empiricamente. Determine o tempo e os valores de e quando os subúrbios forem maiores que a cidade. Os valores dos parâmetros são pessoas, ano, pessoas, pessoas, pessoas, ano. Aplique diferentes métodos para obter as soluções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas populações: a da área urbana, que está diminuindo ao longo do tempo, e a da área suburbana, que está crescendo. As equações que descrevem essas populações são:
Queremos descobrir em que momento a população dos subúrbios será 20% maior que a população da cidade, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para igualar as duas equações e resolver para .

Passo 2

Vamos substituir as expressões de e na equação :

Passo 3

Substituímos os valores dos parâmetros fornecidos:
  • por ano
  • por ano
Substituindo na equação:

Passo 4

Simplificamos a equação:
Primeiro, calculamos . Então:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador da fração à esquerda para eliminar o denominador:

Passo 6

Expandimos a expressão do lado direito:
Simplificando:

Passo 7

Dividimos ambos os lados por 1.2 para simplificar:
Calculando o lado esquerdo:

Passo 8

Isolamos os termos exponenciais:
Calculando:

Passo 9

Essa equação é complexa e envolve termos exponenciais com diferentes coeficientes. Para resolver isso, podemos utilizar métodos numéricos, como o método da tentativa e erro ou ferramentas computacionais.
Usando uma calculadora ou software que resolva equações numericamente, encontramos que o valor de que satisfaz a equação é aproximadamente:

Resposta

Após aproximadamente 9 anos, a população dos subúrbios será 20% maior que a população da cidade, com valores de:
  • População urbana: pessoas
  • População suburbana: pessoas
Nota: Os valores são aproximados e podem variar ligeiramente dependendo da precisão dos cálculos.

Exercícios relacionados

Você comprou um veículo de entrada e pagando por ano por 7 anos. Use diferentes métodos para determinar a taxa de juros que você está pagando. Empregue aproximações iniciais para a taxa de juros de 0,01 e 0,3 e um critério de parada de 0,00005 . A fórmula que relaciona o valor atual P , os pagamentos anuais A , o número de anos n e a taxa de juros i :
Identifique e resolva a equação
A velocidade de subida de um foguete pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Onde é a velocidade de subida, é a velocidade na qual o combustível é expelido em relação ao foguete, é a massa inicial do foguete no instante é a taxa de consumo do combustível, e é a aceleração da gravidade . Se e , calcule o tempo no qual . Determine seu resultado de modo que esteja a menos de do valor verdadeiro. (sugestão: está em algum ponto entre 10 e 50 s.)
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada série abaixo.