No estudo de crescimento populacional, engenheiros de transporte podem achar necessário determinar separadamente a tendência de crescimento da população de uma cidade e do subúrbio adjacente. A população da área urbana está diminuindo com o tempo de acordo com
Enquanto a população suburbana cresce de acordo com o seguinte modelo
Onde
são parâmetros determinados empiricamente. Determine o tempo e os valores de
e
quando os subúrbios forem
maiores que a cidade. Os valores dos parâmetros são
pessoas,
ano,
pessoas,
pessoas,
pessoas,
ano. Aplique diferentes métodos para obter as soluções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas populações: a da área urbana, que está diminuindo ao longo do tempo, e a da área suburbana, que está crescendo. As equações que descrevem essas populações são:
Queremos descobrir em que momento
a população dos subúrbios será 20% maior que a população da cidade, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para igualar as duas equações e resolver para
.
Passo 2
Vamos substituir as expressões de
e
na equação
:
Passo 3
Substituímos os valores dos parâmetros fornecidos:
-
-
por ano -
-
-
-
por ano
Substituindo na equação:
Passo 4
Simplificamos a equação:
Primeiro, calculamos
. Então:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador da fração à esquerda para eliminar o denominador:
Passo 6
Expandimos a expressão do lado direito:
Simplificando:
Passo 7
Dividimos ambos os lados por 1.2 para simplificar:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 8
Isolamos os termos exponenciais:
Calculando:
Passo 9
Essa equação é complexa e envolve termos exponenciais com diferentes coeficientes. Para resolver isso, podemos utilizar métodos numéricos, como o método da tentativa e erro ou ferramentas computacionais.
Usando uma calculadora ou software que resolva equações numericamente, encontramos que o valor de
que satisfaz a equação é aproximadamente:
Resposta
Após aproximadamente 9 anos, a população dos subúrbios será 20% maior que a população da cidade, com valores de:
-
População urbana:
pessoas -
População suburbana:
pessoas
Nota: Os valores são aproximados e podem variar ligeiramente dependendo da precisão dos cálculos.
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é a aceleração da gravidade
. Se
e
, calcule o tempo no qual
. Determine seu resultado de modo que esteja a menos de
do valor verdadeiro. (sugestão:
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