Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada série abaixo.
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita . Isso significa descobrir para quais valores de essa série vai somar para um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é a parte que depende de an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)! . No nosso caso, o termo geral é:
Esse termo representa cada parcela da série conforme vai aumentando.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
então a série converge se , diverge se e é inconclusiva se .

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1(2n+1)! = (-1)^n+1 x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!(-1)^n x^2n+1 :
Simplificando:
an+1an = (-1) cdot x^2(2n+3)(2n+2)
Como estamos interessados no valor absoluto:
| an+1an | = x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) tende ao infinito:
L = 0
Observamos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme aumenta. Então:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito ( ) e o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais .

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