Identifique e resolva a equação d yd x=e^x+yy-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e resolver a equação diferencial dydx = e^x + yy - 1. Isso envolve conteúdos de equações diferenciais e separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar os termos que envolvem dos que envolvem e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis (y - 1) , dy = e^x + y , dx e . Começamos multiplicando ambos os lados da equação por para isolar :

Passo 3

Agora, para facilitar a separação, vamos reescrever (y - 1) , dy = e^x cdot e^y , dx como :

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por (y - 1) cdot e^-y , dy = e^x , dx para isolar os termos de de um lado e os de do outro:

Passo 5

Agora, temos a equação separada. O próximo passo é integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo:
integral (y - 1) cdot e^-y , dy

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes. Seja integral (y - 1) cdot e^-y , dy = -(y - 1)e^-y + integral e^-y , dy = -(y - 1)e^-y - e^-y + C e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
integral e^x , dx = e^x + C

Passo 8

Igualando as integrações dos dois lados, temos:
-(y - 1)e^-y - e^-y = e^x + C
Podemos simplificar isso combinando os termos de -(y - 2)e^-y = e^x + C :

Passo 9

Para deixar a solução de forma mais clara, podemos multiplicar ambos os lados por (y - 2)e^-y = -e^x + C' :
Onde é uma constante de integração ajustada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(y - 2)e^-y = -e^x + C

Exercícios relacionados