Identifique e resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e resolver a equação diferencial
. Isso envolve conteúdos de equações diferenciais e separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar os termos que envolvem
dos que envolvem
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
. Começamos multiplicando ambos os lados da equação por
para isolar
:
Passo 3
Agora, para facilitar a separação, vamos reescrever
como
:
Passo 4
Vamos dividir ambos os lados por
para isolar os termos de
de um lado e os de
do outro:
Passo 5
Agora, temos a equação separada. O próximo passo é integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Passo 8
Igualando as integrações dos dois lados, temos:
Podemos simplificar isso combinando os termos de
:
Passo 9
Para deixar a solução de forma mais clara, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de integração ajustada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: