Identifique e resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e resolver a equação diferencial . Isso envolve conteúdos de equações diferenciais e separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar os termos que envolvem dos que envolvem e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis e . Começamos multiplicando ambos os lados da equação por para isolar :

Passo 3

Agora, para facilitar a separação, vamos reescrever como :

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por para isolar os termos de de um lado e os de do outro:

Passo 5

Agora, temos a equação separada. O próximo passo é integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:

Passo 8

Igualando as integrações dos dois lados, temos:
Podemos simplificar isso combinando os termos de :

Passo 9

Para deixar a solução de forma mais clara, podemos multiplicar ambos os lados por :
Onde é uma constante de integração ajustada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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