A velocidade de subida de um foguete pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Onde é a velocidade de subida, é a velocidade na qual o combustível é expelido em relação ao foguete, é a massa inicial do foguete no instante é a taxa de consumo do combustível, e é a aceleração da gravidade . Se e , calcule o tempo no qual . Determine seu resultado de modo que esteja a menos de do valor verdadeiro. (sugestão: está em algum ponto entre 10 e 50 s.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular o tempo que um foguete leva para atingir uma certa velocidade de subida. A gente está trabalhando com cinemática de foguetes, que envolve fórmulas para entender como a velocidade muda com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a velocidade do foguete com o tempo, além de entender um pouco sobre logaritmos e como resolver equações que envolvem logaritmos e termos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula que nos foi dada:
Aqui:
  • é a velocidade de subida que queremos achar ( ),
  • é a velocidade de exaustão do combustível ( ),
  • é a massa inicial do foguete ( ),
  • é a taxa de consumo do combustível ( ),
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Nosso objetivo é encontrar o tempo que faz com que .

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar . Como está dentro de um logaritmo e também multiplicando uma constante, não conseguimos isolar facilmente o . Então, teremos que resolver isso de forma numérica, tentando valores de até achar o que deixa a equação verdadeira.

Passo 4

Vamos tentar alguns valores de dentro do intervalo sugerido (entre 10 e 50 segundos) e ver qual se aproxima mais de .
Tentativa 1: s
Calculando o denominador:
Então:
Como , precisamos aumentar para que a velocidade aumente.
Tentativa 2: s
Calculando o denominador:
Então:
Agora , então o valor de que buscamos está entre 20 e 30 segundos.

Passo 5

Vamos refinar os valores entre 20 e 30 segundos.
Tentativa 3: s
Calculando o denominador:
Então:
Ainda , então aumentamos mais o .
Tentativa 4: s
Calculando o denominador:
Então:
Agora, , então nosso está entre 25 e 27 segundos.

Passo 6

Vamos continuar refinando:
Tentativa 5: s
Calculando o denominador:
Então:
, então aumentamos um pouquinho:
Tentativa 6: s
Calculando o denominador:
Então:
Agora, está bem próximo de . Vamos verificar a precisão.

Passo 7

Calculamos para s e obtivemos , que está a apenas cerca de acima de . Isso está dentro da margem de erro de menos de exigida pelo exercício.

Resposta

O tempo necessário para que a velocidade de subida do foguete atinja é aproximadamente 26,5 segundos.

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