A velocidade de subida de um foguete pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Onde
é a velocidade de subida,
é a velocidade na qual o combustível é expelido em relação ao foguete,
é a massa inicial do foguete no instante
é a taxa de consumo do combustível, e
é a aceleração da gravidade
. Se
e
, calcule o tempo no qual
. Determine seu resultado de modo que esteja a menos de
do valor verdadeiro. (sugestão:
está em algum ponto entre 10 e 50 s.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular o tempo que um foguete leva para atingir uma certa velocidade de subida. A gente está trabalhando com cinemática de foguetes, que envolve fórmulas para entender como a velocidade muda com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a velocidade do foguete com o tempo, além de entender um pouco sobre logaritmos e como resolver equações que envolvem logaritmos e termos lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula que nos foi dada:
Aqui:
-
é a velocidade de subida que queremos achar ( ), -
é a velocidade de exaustão do combustível ( ), -
é a massa inicial do foguete ( ), -
é a taxa de consumo do combustível ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ).
Nosso objetivo é encontrar o tempo
que faz com que
.
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar
. Como
está dentro de um logaritmo e também multiplicando uma constante, não conseguimos isolar facilmente o
. Então, teremos que resolver isso de forma numérica, tentando valores de
até achar o que deixa a equação verdadeira.
Passo 4
Vamos tentar alguns valores de
dentro do intervalo sugerido (entre 10 e 50 segundos) e ver qual se aproxima mais de
.
Tentativa 1:
s
Calculando o denominador:
Então:
Como
, precisamos aumentar
para que a velocidade aumente.
Tentativa 2:
s
Calculando o denominador:
Então:
Agora
, então o valor de
que buscamos está entre 20 e 30 segundos.
Passo 5
Vamos refinar os valores entre 20 e 30 segundos.
Tentativa 3:
s
Calculando o denominador:
Então:
Ainda
, então aumentamos mais o
.
Tentativa 4:
s
Calculando o denominador:
Então:
Agora,
, então nosso
está entre 25 e 27 segundos.
Passo 6
Vamos continuar refinando:
Tentativa 5:
s
Calculando o denominador:
Então:
Tentativa 6:
s
Calculando o denominador:
Então:
Agora,
está bem próximo de
. Vamos verificar a precisão.
Passo 7
Calculamos para
s e obtivemos
, que está a apenas cerca de
acima de
. Isso está dentro da margem de erro de menos de
exigida pelo exercício.
Resposta
O tempo necessário para que a velocidade de subida do foguete atinja
é aproximadamente 26,5 segundos.
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Enquanto a população suburbana cresce de acordo com o seguinte modelo
Onde
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e
quando os subúrbios forem
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pessoas,
ano,
pessoas,
pessoas,
pessoas,
ano. Aplique diferentes métodos para obter as soluções.
Você comprou um veículo de
entrada e pagando
por ano por 7 anos. Use diferentes métodos para determinar a taxa de juros que você está pagando. Empregue aproximações iniciais para a taxa de juros de 0,01 e 0,3 e um critério de parada de 0,00005 . A fórmula que relaciona o valor atual P , os pagamentos anuais A , o número de anos n e a taxa de juros i :
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada série abaixo.
Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade:
b) em
b)