A velocidade de subida de um foguete pode ser calculada pela seguinte fórmula:
v=u ln m0m0-q t-g t
Onde v é a velocidade de subida, u é a velocidade na qual o combustível é expelido em relação ao foguete, m0 é a massa inicial do foguete no instante t=0, q é a taxa de consumo do combustível, e g é a aceleração da gravidade (9,81 m / s^2). Se u=1800 m / s, m0=160.000 kg e q=2600 kg / s, calcule o tempo no qual v=750 m / s. Determine seu resultado de modo que esteja a menos de 1 % do valor verdadeiro. (sugestão: t está em algum ponto entre 10 e 50 s.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular o tempo que um foguete leva para atingir uma certa velocidade de subida. A gente está trabalhando com cinemática de foguetes, que envolve fórmulas para entender como a velocidade muda com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a velocidade do foguete com o tempo, além de entender um pouco sobre logaritmos e como resolver equações que envolvem logaritmos e termos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula que nos foi dada:
v = u ln ( m0m0 - q t ) - g t
Aqui:
  • v é a velocidade de subida que queremos achar ( 750 m/s),
  • u é a velocidade de exaustão do combustível ( 1800 m/s),
  • m0 é a massa inicial do foguete ( 160.000 kg),
  • q é a taxa de consumo do combustível ( 2600 kg/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2).
Nosso objetivo é encontrar o tempo t que faz com que v = 750 m/s.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
750 = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 t ) - 9,81 t
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar t. Como t está dentro de um logaritmo e também multiplicando uma constante, não conseguimos isolar facilmente o t. Então, teremos que resolver isso de forma numérica, tentando valores de t até achar o que deixa a equação verdadeira.

Passo 4

Vamos tentar alguns valores de t dentro do intervalo sugerido (entre 10 e 50 segundos) e ver qual se aproxima mais de v = 750 m/s.
Tentativa 1: t = 20 s
v = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 times 20 ) - 9,81 times 20
Calculando o denominador:
160000 - 2600 times 20 = 160000 - 52000 = 108000
Então:
v = 1800 ln ( 160000108000 ) - 196,2
v = 1800 ln(1,4815) - 196,2
v approx 1800 times 0,3979 - 196,2 approx 716,2 - 196,2 = 520 m/s
Como 520 < 750, precisamos aumentar t para que a velocidade aumente.
Tentativa 2: t = 30 s
v = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 times 30 ) - 9,81 times 30
Calculando o denominador:
160000 - 2600 times 30 = 160000 - 78000 = 82000
Então:
v = 1800 ln ( 16000082000 ) - 294,3
v = 1800 ln(1,9512) - 294,3
v approx 1800 times 0,668 - 294,3 approx 1202,4 - 294,3 = 908,1 m/s
Agora 908,1 > 750, então o valor de t que buscamos está entre 20 e 30 segundos.

Passo 5

Vamos refinar os valores entre 20 e 30 segundos.
Tentativa 3: t = 25 s
v = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 times 25 ) - 9,81 times 25
Calculando o denominador:
160000 - 2600 times 25 = 160000 - 65000 = 95000
Então:
v = 1800 ln ( 16000095000 ) - 245,25
v = 1800 ln(1,6842) - 245,25
v approx 1800 times 0,5204 - 245,25 approx 936,7 - 245,25 = 691,45 m/s
Ainda 691,45 < 750, então aumentamos mais o t.
Tentativa 4: t = 27 s
v = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 times 27 ) - 9,81 times 27
Calculando o denominador:
160000 - 2600 times 27 = 160000 - 70200 = 89700
Então:
v = 1800 ln ( 16000089700 ) - 264,87
v = 1800 ln(1,7853) - 264,87
v approx 1800 times 0,5797 - 264,87 approx 1043,5 - 264,87 = 778,63 m/s
Agora, 778,63 > 750, então nosso t está entre 25 e 27 segundos.

Passo 6

Vamos continuar refinando:
Tentativa 5: t = 26 s
v = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 times 26 ) - 9,81 times 26
Calculando o denominador:
160000 - 2600 times 26 = 160000 - 67600 = 92400
Então:
v = 1800 ln ( 16000092400 ) - 254,86
v = 1800 ln(1,7301) - 254,86
v approx 1800 times 0,5482 - 254,86 approx 986,76 - 254,86 = 731,9 m/s
731,9 < 750, então aumentamos um pouquinho:
Tentativa 6: t = 26,5 s
v = 1800 ln ( 160000160000 - 2600 times 26,5 ) - 9,81 times 26,5
Calculando o denominador:
160000 - 2600 times 26,5 = 160000 - 68900 = 91000
Então:
v = 1800 ln ( 16000091000 ) - 259,665
v = 1800 ln(1,7582) - 259,665
v approx 1800 times 0,5631 - 259,665 approx 1013,5 - 259,665 = 753,8 m/s
Agora, 753,8 está bem próximo de 750. Vamos verificar a precisão.

Passo 7

Calculamos para t = 26,5 s e obtivemos v approx 753,8 m/s, que está a apenas cerca de 0,5% acima de 750 m/s. Isso está dentro da margem de erro de menos de 1% exigida pelo exercício.

Resposta

O tempo necessário para que a velocidade de subida do foguete atinja 750 m/s é aproximadamente 26,5 segundos.

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