Em um estudo sobre a turbulência causada pelas turbinas de aviões a jato, a raiz quadrada das velocidades quadráticas médias das moléculas do nitrogênio em um túnel de vento era 495 m cdot s^-1. Qual era a temperatura no interior do túnel?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre turbulência causada pelas turbinas de aviões a jato e queremos descobrir a temperatura dentro de um túnel de vento. A informação que temos é a raiz quadrada das velocidades quadráticas médias das moléculas de nitrogênio, que é 495 , m/s.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria cinética dos gases, que relaciona a energia das moléculas com a temperatura do gás. Vamos precisar das seguintes informações e fórmulas:
  • Massa de uma molécula de nitrogênio.
  • Constante de Boltzmann ( kB).
  • Relação entre energia cinética média e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a velocidade das moléculas e a temperatura. Na teoria cinética dos gases, a energia cinética média ( lang<= Ek rang<=) das moléculas está relacionada à temperatura pela fórmula:
lang<= Ek rang<= = 32 kB T
Onde:
  • lang<= Ek rang<= é a energia cinética média por molécula.
  • kB é a constante de Boltzmann ( 1,380649 times 10^-23 , J/K).
  • T é a temperatura em Kelvin.
Sabemos que a energia cinética de uma molécula também pode ser expressa em termos da velocidade média quadrática ( lang<= v^2 rang<=):
lang<= Ek rang<= = 12 m lang<= v^2 rang<=
Onde:
  • m é a massa de uma molécula de nitrogênio.
  • lang<= v^2 rang<= é a velocidade quadrática média.

Passo 3

Agora, vamos igualar as duas expressões para lang<= Ek rang<=:
12 m lang<= v^2 rang<= = 32 kB T
Podemos simplificar essa equação para resolver a temperatura T:
T = m lang<= v^2 rang<=3 kB

Passo 4

Vamos agora calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, precisamos da massa de uma molécula de nitrogênio ( N2). A massa molar do N2 é aproximadamente 28 , g/mol. Convertendo para kg:
28 , g/mol = 0,028 , kg/mol
Sabemos que um mol contém 6,022 times 10^23 moléculas (Número de Avogadro). Então, a massa de uma molécula de N2 é:
m = 0,028 , kg/mol6,022 times 10^23 , mol^-1 approx 4,65 times 10^-26 , kg
Agora, sabemos que raizlang<= v^2 rang<= = 495 , m/s, então:
lang<= v^2 rang<= = (495 , m/s)^2 = 245025 , m^2/s^2
Substituindo na fórmula da temperatura:
T = 4,65 times 10^-26 , kg times 245025 , m^2/s^23 times 1,380649 times 10^-23 , J/K
Calculando o numerador:
4,65 times 10^-26 times 245025 approx 1,138 times 10^-20 , J
E o denominador:
3 times 1,380649 times 10^-23 approx 4,141947 times 10^-23 , J/K
Agora, dividindo os dois:
T = 1,138 times 10^-204,141947 times 10^-23 approx 274,8 , K

Resposta

A temperatura no interior do túnel de vento é aproximadamente 275 , K.

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