onde
é a transferência de calor em relação ao fluido em escoamento. Mostre que o trabalho total das máquinas de Carnot é dado por
onde
e
se referem ao fluido. Em um caso particular, o fluido é um gás ideal,
, para o qual
e
. Se
, qual é o valor de
? Quanto calor é descarregado para o reservatório de calor a
? Qual é a variação da entropia do reservatório de calor? Qual é o
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar uma equação relacionada ao trabalho total das máquinas de Carnot e, depois, resolver alguns valores específicos usando essa equação. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, mais especificamente o ciclo de Carnot, que é um modelo teórico de máquina térmica eficiente. Para resolvermos isso, vamos precisar entender conceitos como trabalho ($ W
Q
T
\Delta S $). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o trabalho total das máquinas de Carnot é dado por $ W = Q - T_{\sigma} \Delta S
\eta $) é definida como o trabalho realizado dividido pelo calor absorvido:
Também sabemos que a eficiência de uma máquina de Carnot depende das temperaturas das fontes de calor:
No entanto, para relacionar $ W $ e $ Q $ com a entropia ($ \Delta S $), vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que diz que a variação da energia interna é igual ao calor fornecido menos o trabalho realizado:
Em um ciclo completo, a variação da energia interna ($ \Delta U $) é zero, então:
Mas precisamos incluir a contribuição da entropia. Sabemos que a variação de entropia é:
Considerando a temperatura do reservatório de calor $ T_{\sigma} $, ajustamos a equação para incluir essa temperatura:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao caso específico do problema. Temos um gás ideal com capacidade calorífica a pressão constante $ C_P = \frac{7}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases. As temperaturas são $ T_1 = 600 , K $, $ T_2 = 400 , K $, e $ T_{\sigma} = 300 , K $.
Primeiro, precisamos encontrar a variação de entropia ($ \Delta S $) do fluido. Para um gás ideal a pressão constante, a variação de entropia é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho $ W $. Usando a equação que derivamos:
Mas precisamos expressar $ Q $ em termos da variação de entropia. Da definição de entropia:
Substituindo na equação do trabalho:
Passo 5
Vamos calcular $ \Delta S $ com os valores dados:
Agora, calculamos $ W $:
Passo 6
Para descobrir quanto calor é descarregado para o reservatório a $ T_{\sigma} $, usamos:
O sinal negativo indica que o calor está sendo descarregado para o reservatório.
Passo 7
A variação de entropia do reservatório de calor é:
Passo 8
Finalmente, a variação total da entropia ($ \Delta S_{total} $) é a soma das variações de entropia do fluido e do reservatório:
Resposta
O trabalho $ W $ é de aproximadamente $ 1181,2 , J/mol $. O calor descarregado para o reservatório a $ T_{\sigma} = 300 , K $ é $ 3543,6 , J/mol $. A variação da entropia do reservatório de calor é $ -11,812 , J/(mol·K) $. A variação total da entropia é $ -23,624 , J/(mol·K) $.